cho các số thực dương x và y thoả mãn 1 + x +y = (căn x) + (căn xy) + (căn y) . tính giá trị của biểu thức S = x^2013 + y^2013 ...
ai nhanh đúng mk tick cho
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 1 2021
Đề bài là thế này đúng không bạn:
Cho các số thực không âm x; y thỏa mãn: \(x^2+y^2\le2\)
Tìm GTLN của: \(P=\sqrt{29x+3y}+\sqrt{3x+29y}\)
P/s: bạn nên sử dụng tính năng gõ công thức để người khác dễ đọc hơn (đây là tính năng rất đơn giản, dễ dàng làm quen, nó nằm ở biểu tượng \(\sum\) trên khung soạn thảo)
TN
8 tháng 4 2017
Bài 1: Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(1+x\ge2\sqrt{x}\)
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(y+1\ge2\sqrt{y}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(2\left(1+x+y\right)\ge2\left(\sqrt{x}+\sqrt{xy}+\sqrt{y}\right)\)
\(1+x+y\ge\sqrt{x}+\sqrt{xy}+\sqrt{y}\Leftrightarrow VT\ge VP\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}1+x=2\sqrt{x}\\x+y=2\sqrt{xy}\\y+1=2\sqrt{y}\end{cases}}\Rightarrow x=y=1\)
Khi đó \(S=x^{2013}+y^{2013}=1^{2013}+1^{2013}=2\)
Bài 2: Vì \(\hept{\begin{cases}x,y,z\in\left[-1;3\right]\\x+y+z=3\end{cases}}\) nên
\(0\le\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)+\left(3-x\right)\left(3-y\right)\left(3-z\right)\)
\(\Leftrightarrow0\le4\left(xy+yz+xz\right)-8\left(x+y+z\right)+28\)
\(\Leftrightarrow0\le2\left(xy+yz+xz\right)+2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)+2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le\left(x+y+z\right)^2+2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le3^2+2=9+2=11\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 10
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(F=\frac{x^4}{x^2\sqrt{y}}+\frac{y^4}{y^2\sqrt{x}}\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{x^2\sqrt{y}+y^2\sqrt{x}}=\frac{4}{y^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{y}}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky kết hợp AM-GM:
$(y^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{y})^2\leq (y^2+x^2)(y^2x+x^2y)=2xy(x+y)$
$\leq (x^2+y^2)\sqrt{2(x^2+y^2)}=2\sqrt{2.2}=4$
$\Rightarrow y^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{y}\leq 2$
$\Rightarrow F\geq \frac{4}{y^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{x}}\geq \frac{4}{2}=2$
Vậy $F_{\min}=2$. Giá trị này đạt tại $x=y=1$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 10
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(F=\frac{x^4}{x^2\sqrt{y}}+\frac{y^4}{y^2\sqrt{x}}\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{x^2\sqrt{y}+y^2\sqrt{x}}=\frac{4}{y^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{y}}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky kết hợp AM-GM:
$(y^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{y})^2\leq (y^2+x^2)(y^2x+x^2y)=2xy(x+y)$
$\leq (x^2+y^2)\sqrt{2(x^2+y^2)}=2\sqrt{2.2}=4$
$\Rightarrow y^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{y}\leq 2$
$\Rightarrow F\geq \frac{4}{y^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{x}}\geq \frac{4}{2}=2$
Vậy $F_{\min}=2$. Giá trị này đạt tại $x=y=1$
1 tháng 10 2015
P = x4.y4 + x4 + y4 + 1
Ta có: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = 10 - 2xy => x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (10 - 2xy)2 - 2(xy)2 = 100 - 40xy + 2(xy)2
=> P = (xy)4 + 2(xy)2 - 40xy + 101 = [(xy)4 - 8(xy)2 + 16] + 10.[(xy)2 - 4xy + 4] + 45 = [(xy)2 - 4]2 + 10.(xy - 2)2 + 45
=> P > 45
Dấu "=" xảy ra <=> xy = 2
Mà có x + y = \(\sqrt{10}\) => x = \(\sqrt{10}\) - y => xy = \(\sqrt{10}\)y - y2 = 2 => y2 - \(\sqrt{10}\).y + 2 = 0
\(\Delta\) = 10 - 8 = 2 => \(y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)=> x = \(\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\)
vậy P nhỏ nhất bằng 45 khi x = \(\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\); \(y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)
1 tháng 10 2015
P = x4.y4 + x4 + y4 + 1
Ta có: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = 10 - 2xy => x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (10 - 2xy)2 - 2(xy)2 = 100 - 40xy + 2(xy)2
=> P = (xy)4 + 2(xy)2 - 40xy + 101 = [(xy)4 - 8(xy)2 + 16] + 10.[(xy)2 - 4xy + 4] + 45 = [(xy)2 - 4]2 + 10.(xy - 2)2 + 45
=> P > 45
Dấu "=" xảy ra <=> xy = 2
Mà có x + y = \(\sqrt{10}\) => x = \(\sqrt{10}\) - y => xy = \(\sqrt{10}\)y - y2 = 2 => y2 - \(\sqrt{10}\).y + 2 = 0
\(\Delta\) = 10 - 8 = 2 => \(y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)=> x = \(\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\)
vậy P nhỏ nhất bằng 45 khi x = \(\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\); \(y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)
\(1+x+y=\sqrt{x}+\sqrt{xy}+\sqrt{y}\)
\(\Leftrightarrow2\left(1+x+y\right)=2\left(\sqrt{x}+\sqrt{xy}+\sqrt{y}\right)\)
\(\Leftrightarrow2+2x+2y=2\sqrt{x}+2\sqrt{xy}+2\sqrt{y}\)
\(\Leftrightarrow2x+2y+2-2\sqrt{x}-2\sqrt{xy}-2\sqrt{y}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)+\left(x-2\sqrt{x}+1\right)+\left(y-2\sqrt{y}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y}-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}=\sqrt{y}\\\sqrt{x}=1\\\sqrt{y}=1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow x=y=1\)
\(\Rightarrow S=x^{2013}+y^{2013}=1+1=2\)