Cho ab + bc + ca = 1
Tìn giá trị lớn nhất của S= a/căn của (1 + a2) + b/căn của (1+ b2) + c/ căn của ( 1 + c2)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 9 2017
1, C/m : a^3 + b^3 + c^3 ≥ a^2.căn (bc) + b^2.căn (ac) + c^2.căn (ab)
Ta có : 2( a^3 + b^3 + c^3 ) = ( a^3 + b^3 + c^3 ) + ( a^3 + b^3 + c^3 )
≥ 3abc + a^3 + b^3 + c^3 ( BĐT Côsi )
= a^3 + abc + b^3 + abc + c^3 + abc ≥ 2.a^2.căn (bc) + 2.b^2.căn (ac) + 2.c^2.căn (ab) ( BĐT Côsi )
=> a^3 + b^3 + c^3 ≥ a^2.căn (bc) + b^2.căn (ac) + c^2.căn (ab)
Dấu " = " xảy ra khi a = b = c.
2, C/m : (a^2 + b^2 + c^2)(1/(a + b ) + 1/(b + c) +1/(a + c) ) ≥ (3/2)(a + b + c) ( 1 )
Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho phân số ( :D ) ta được :
(a^2 + b^2 + c^2)(1/(a + b ) + 1/(b + c) +1/(a + c) ) ≥ (a^2 + b^2 + c^2).[(1+1+1)^2/(a+b+b+c+a+c)] = (a^2 + b^2 + c^2) . 9/[2.(a+b+c)]
(1) <=> (a^2 + b^2 + c^2) . 9/[2.(a+b+c)] ≥ (3/2)(a + b + c)
<=> 3(a^2 + b^2 + c^2) ≥ (a + b + c)^2
<=> a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca.
BĐT cuối đúng nên => đpcm !
Dấu " = " xảy ra khi a = b = c.
3, C/m : a^4 + b^4 + c^4 ≥ (a + b + c)abc
Ta có : 2( a^4 + b^4 + c^4 ) = (a^4 + b^4 +c^4) + (a^4 + b^4 +c^4)
≥ ( a^2.b^2 + b^2.c^2 + c^2.a^2 ) + (a^4 + b^4 +c^4) = ( a^4 + b^2.c^2 ) + ( b^4 + c^2.a^2 ) + ( c^4 + a^2.b^2 )
≥ 2.a^2.bc + 2.b^2.ca + 2.c^2.ab ( BĐT Côsi )
= 2.abc(a + b + c)
Do đó a^4 + b^4 + c^4 ≥ (a + b + c)abc
Dấu " = " xảy ra khi a = b = c.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 8 2021
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) ; \(\forall a;b;c\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le1\)
\(\Rightarrow P_{max}=1\) khi \(a=b=c\)
Lại có:
\(\left(a+b+c\right)^2\ge0\) ; \(\forall a;b;c\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}=-\dfrac{1}{2}\)
\(P_{min}=-\dfrac{1}{2}\) khi \(a+b+c=0\)
CM
21 tháng 9 2019
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có:
a 2 + b 2 ≥ 2 a b , b 2 + c 2 ≥ 2 b c , c 2 + a 2 ≥ 2 c a
Do đó: 2 a 2 + b 2 + c 2 ≥ 2 ( a b + b c + c a ) = 2.9 = 18 ⇒ 2 P ≥ 18 ⇒ P ≥ 9
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 3 . Vậy MinP= 9 khi a = b = c = 3
Vì a , b , c ≥ 1 , nên ( a − 1 ) ( b − 1 ) ≥ 0 ⇔ a b − a − b + 1 ≥ 0 ⇔ a b + 1 ≥ a + b
Tương tự ta có b c + 1 ≥ b + c , c a + 1 ≥ c + a
Do đó a b + b c + c a + 3 ≥ 2 ( a + b + c ) ⇔ a + b + c ≤ 9 + 3 2 = 6
Mà P = a 2 + b 2 + c 2 = a + b + c 2 − 2 a b + b c + c a = a + b + c 2 – 18
⇒ P ≤ 36 − 18 = 18 . Dấu bằng xảy ra khi : a = 4 ; b = c = 1 b = 4 ; a = c = 1 c = 4 ; a = b = 1
Vậy maxP= 18 khi : a = 4 ; b = c = 1 b = 4 ; a = c = 1 c = 4 ; a = b = 1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
31 tháng 1 2021
\(P\le a^2+b^2+c^2+3\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=12\)
\(P_{max}=12\) khi \(a=b=c=1\)
Lại có: \(\left(a+b+c\right)^2=3+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3}\)
\(a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\)
\(\Rightarrow\sqrt{3}\le a+b+c\le3\)
\(P=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}+3\left(a+b+c\right)\)
\(P=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+3\left(a+b+c\right)-\dfrac{3}{2}\)
Đặt \(a+b+c=x\Rightarrow\sqrt{3}\le x\le3\)
\(P=\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+6+\sqrt{3}\right)+3\sqrt{3}\ge3\sqrt{3}\)
\(P_{min}=3\sqrt{3}\) khi \(x=\sqrt{3}\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;\sqrt{3}\right)\) và hoán vị
TN
28 tháng 1 2018
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(P=\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\)
\(=\frac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{2a}{a+b}\cdot\frac{2a}{a+c}}+\sqrt{\frac{2b}{a+b}\cdot\frac{b}{2\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{2c}{a+c}\cdot\frac{c}{2\left(b+c\right)}}\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{2a}{a+b}+\frac{2b}{a+b}+\frac{2a}{a+c}+\frac{2c}{a+c}+\frac{b}{2\left(b+c\right)}+\frac{c}{2\left(b+c\right)}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(2+2+\frac{1}{2}\right)=\frac{9}{4}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 12 2021
Do \(a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow0\le a;b;c\le1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\le0\\b^{2011}\le b\\c^{2011}\le c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow T\le a+b+c-ab-bc-ca=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)+1-abc\le1-abc\le1\)
\(T_{max}=1\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị
Mình viết trên điện thoại có gì sai thông cảm Ta có ab+bc+ac=1
Thì \({\sqrt{1-a^2}}\)
=\({\sqrt{ab+bc+ac+a^2}}\)
= \({\sqrt{(b+a)(a+c)}}\) \(≤{b+2a+c\over2}\)
Thì a/ căn của (1-a^2) ≥ 2a/(b+2a+c)
Tương tự với cách trên thì
b/ căn của (1-b^2)≥ 2b/(a+2b+c)
Và c/ căn của (1-c^2)≥2c/(a+b+2c)
Bạn cộng ba cái đó lại đặt là (1) rồi làm tiếp
Ta có bài toán phụ
\( {1\over {a+b}}≤ {{a+b}\over4ab}\)
\(= {1\over4}({1\over a}+{1\over b})\)
Tách 2a;2b;2c ở từng mẫu rồi áp dụng công thức trên ta đc
(1) \(≤{2a{.1 \over 4}({1\over b+a}+{1\over a+c}})\) +2b (viết tương tự như cái này vì mình viết điện thoại hiư lâu bạn viết tiếp nhá viết tới cái 2c nhân với 1/4 và cái tổng rồi) +
\( {2a\over b+a}+{2a\over a+c}+{2b\over b+a}+{2b\over b+c}+{2c\over a+c}+{2c\over b+c}\)
= 1/4×{[(2a+2b)/(a+b)]+[(2a+2c)/(a+c)]+[(2b+2c)/b+c]}
=1/4 ×(2+2+2)
= 3/2
Vậy Max của S =3/4 khi a=b=c=1/4
Chúc bạn học tốt
Bạn dợi mình học đi thêm về rùi chụp lên cho