Cho các số thực \(-1\le a;b;c\le1\) thỏa mãn \(a+b+c=0\)
Chứng minh: \(a^2+b^2+c^2\le2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
25 tháng 5 2021
Áp dụng BĐT cosi:
\(a\sqrt{1-b^2}=\sqrt{a^2\left(1-b^2\right)}\le\dfrac{a^2+1-b^2}{2}\)
Tương tự cx có: \(b\sqrt{1-c^2}\le\dfrac{b^2+1-c^2}{2}\)
\(c\sqrt{1-a^2}\le\dfrac{c^2+1-a^2}{2}\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow VT\le\dfrac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a^2=1-b^2\\b^2=1-c^2\\c^2=1-a^2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=3-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=\dfrac{3}{2}\) (đpcm)
16 tháng 7 2020
Mình xài p,q,r nhé :))
Ta có:
\(a^3+b^3+c^3=p^3-3pq+3r=1-3q+3r\)
\(a^4+b^4+c^4=1-4q+2q^2+4r\)
Khi đó BĐT tương đương với:
\(\frac{1}{8}+2q^2+4r-4q+1\ge1-3q+3r\)
\(\Leftrightarrow2q^2-q+\frac{1}{8}+r\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(q-\frac{1}{4}\right)+r\ge0\) ( đúng )
T
21 tháng 7 2020
\(a^4+b^4+c^4+\frac{1}{8}\left(a+b+c\right)^4\ge\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a+b+c\right)\)
Khúc đầu có gì đâu nhỉ: \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(=p^3-3\left[\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\right]\)
\(=p^3-3pq+3r\)
--------------------------------------
\(a^4+b^4+c^4=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(=\left[\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)\right]^2-2\left[\left(ab+bc+ca\right)^2-2abc\left(a+b+c\right)\right]\)
\(=\left(p^2-2q\right)^2-2\left(q^2-2pr\right)\)
\(=p^4-4p^2q+2q^2+4pr\)
Xem thêm các đẳng thức thông dụng tại: https://bit.ly/3hllKCq
11 tháng 11 2018
\(-1\le a\le2\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+1\ge0\\a-2\le0\end{cases}\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a-2\right)\le0}\)
Tương tự \(\left(b+1\right)\left(b-2\right)\le0,\left(c+1\right)\left(c-2\right)\le0\)
=> (a+1)(a-2)+(b+1)(b-2)+(c+1)(c-2)\(\le\)0 => a2+b2+c2-(a+b+c)-6\(\le\)0
=>a2+b2+c2 \(\le\)6
Dấu "=" xảy ra <=> (a+1)( a-2)=0, (b+1)(b-2)=0, (c+1)(c-2)=0 , a+b+c=0 <=> a=2, b=c=-1 và các hoán vị
15 tháng 4 2020
hhijestfijteryijryihrjgi
huhyhygtftfrhhfmmhjdhmjhmhxffhdfhdfghdfhdfhdfhhhfhhdfhhgfjgjghfghgghghhh
LN
22 tháng 5 2020
Ta có: \(a^2+b^2+c^2+d^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{\left(c+d\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow1\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow a+b\le1\)
Vậy Max a+b=1 khi và chỉ khi a=b=c=d=1/2
S
1
4 tháng 3 2021
giả sử a\(\ge\)b
Khi đó \(\dfrac{a-b}{2}>0\)
Vì a<b+c với mọi c>0 nên \(c=\dfrac{a-b}{2}\)
Ta có: \(a\le b+\dfrac{a-b}{2}\) hay a<b ( mâu thuẫn )
=> giả sử a\(\ge\)b là sai
Vậy \(a\le b\)
Ta có:
\(ab.bc.ca=\left(abc\right)^2\ge0\) ; \(\forall a;b;c\)
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại ít nhất 1 trong 3 giá trị ab; bc; ca không âm
Không mất tính tổng quát, giả sử \(ab\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le a^2+2ab+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+c^2=2c^2\le2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(-1;0;1\right)\) và các hoán vị