Question

[Pham Trong Bach]

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [ a;b ] và thỏa mãn điều kiện f(x) = f( a + b - x )  $\forall x\in \left[a;b\right]$. Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?

A.  ${\int }_a^{b}xf\left(x\right)dx=-\left(a+b\right){\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$

B.  ${\int }_a^{b}xf\left(x\right)dx=\left(a+b\right){\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$

C.  ${\int }_a^{b}xf\left(x\right)dx=\frac{-\left(a+b\right)}{2}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$

D.  ${\int }_a^{b}xf\left(x\right)dx=\frac{\left(a+b\right)}{2}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đặt t = a + b - x nên dx = -dt

Đổi cận: x = a nên t = b; x = b nên t = a

Khi đó : 

∫ a b x f x d x = ∫ a b x f a + b - x d x = - ∫ b a a + b - t f t d t = ∫ a b a + b - t f t d t = a + b ∫ a b f t d t - ∫ a b t f t = a + b ∫ a b f x d t - ∫ a b x f x

Do đó  ∫ a b x f x d x = a + b 2 ∫ a b f x d x

Đáp án D