K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
26 tháng 1 2019

\(-3\le x\le1\)

Pt tuơng đương:

\(\left(2m-4\right)\sqrt{\dfrac{x+3}{4}}+\left(4m-2\right)\sqrt{\dfrac{1-x}{4}}+m-1=0\) (1)

Do \(\left(\sqrt{\dfrac{x+3}{4}}\right)^2+\left(\sqrt{\dfrac{1-x}{4}}\right)^2=1\)

\(\Rightarrow\) Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\dfrac{x+3}{4}}=sint\\\sqrt{\dfrac{1-x}{4}}=cost\end{matrix}\right.\) với \(0\le t\le\dfrac{\pi}{2}\)

Pt (1) trở thành: \(\left(2m-4\right)sint+\left(4m-2\right)cost+m-1=0\)

\(\Leftrightarrow2msint+4mcost+m=4sint+2cost+1\)

\(\Leftrightarrow m\left(2sint+4cost+1\right)=4sint+2cost+1\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{4sint+2cost+1}{2sint+4cost+1}\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=\dfrac{4sint+2cost+1}{2sint+4cost+1}\)

\(\Rightarrow f'\left(t\right)=\dfrac{2\left(cost+sint\right)+12}{\left(2sint+4cost+1\right)^2}>0\) \(\forall t\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến trên \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\)

\(\Rightarrow f\left(0\right)\le f\left(t\right)\le f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\Leftrightarrow\dfrac{3}{5}\le f\left(t\right)\le\dfrac{5}{3}\)

Vậy để pt có nghiệm thì \(\dfrac{3}{5}\le m\le\dfrac{5}{3}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{5}\\b=\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow S=1981\)

26 tháng 1 2019

bạn giỏi quá.

Thanks rất nhiều.

Cộng đồng hoc24 là một môi trường giáo dục thật tuyệt!

10 tháng 4 2023

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì:

\(\Delta>0\)

<=> \(\left[-\left(2m+5\right)\right]^2-4.1.\left(2m+1\right)>0\)

\(\Leftrightarrow4m^2+12m+21>0\)

\(\Leftrightarrow4m^2+12m+9+12>0\)

<=> \(\left(2m+3\right)^2+12>0\)

Vì (2m+3)2 luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi m nên phương trình đã cho có nghiệm với mọi giá trị m.

Theo viét:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+5\\x_1x_2=2m+1\end{matrix}\right.\)

Theo đề:

\(M=\left|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right|\) (điều kiện: \(x_1;x_2\ge0\))

=> \(M^2=x_1+x_2-2\sqrt{x_1x_2}=2m+5-2\sqrt{2m+1}\)

<=> \(M^2=\left(\sqrt{2m+1}\right)\left(\sqrt{2m+1}\right)-2\sqrt{\left(2m+1\right)}+4\)

<=> \(M^2=\left(\sqrt{2m+1}\right)\left(\sqrt{2m+1}-2\right)+4\)

<=> \(M^2=\left(\sqrt{2m+1}-1\right)^2+4\ge4\)

=> \(M\ge2\).

Dấu "=" xảy ra khi m = 0

Thế m = 0 vào phương trình ở đề được:

\(x^2-5x+1=0\)

Phương trình này có hai nghiệm dương -> thỏa mãn điều kiện.

Vậy min M = 2 và m = 0

T.Lam

12 tháng 3 2021

Có dấu = nha, mình nhầm

12 tháng 3 2021

NV
3 tháng 3 2023

Đặt \(\sqrt{x+m}=t\Rightarrow m=t^2-x\)

Pt trở thành:

\(x^2-2x-t=t^2-x\)

\(\Leftrightarrow x^2-t^2-x-t=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+t\right)\left(x-t-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-x=t\\x-1=t\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-x=\sqrt{x+m}\left(x\le0\right)\\x-1=\sqrt{x+m}\left(x\ge1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-x=m\left(x\le0\right)\left(1\right)\\x^2-3x+1=m\left(x\ge1\right)\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

TH1: (1) có nghiệm duy nhất và (2) vô nghiệm (sử dụng đồ thị hoặc BBT)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge0\\\left[{}\begin{matrix}m< -\dfrac{5}{4}\\\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) (ko tồn tại m thỏa mãn)

TH2: (1) vô nghiệm và (2) có nghiệm duy nhất 

 \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\left[{}\begin{matrix}m=-\dfrac{5}{4}\\m>-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{-\dfrac{5}{4}\right\}\cup\left(-1;0\right)\)

 

1:

\(=\left(\dfrac{1}{x-2\sqrt{x}}+\dfrac{2}{3\sqrt{x}-6}\right):\dfrac{2\sqrt{x}+3}{3\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{3+2\sqrt{x}}{3\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\cdot\dfrac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+3}=\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}\)

a: \(\text{Δ}=\left(2m-2\right)^2-4\left(2m-3\right)\)

\(=4m^2-8m+4-8m+12\)

\(=4m^2-16m+16\)

\(=\left(2m-4\right)^2>=0\)

Do đó: Phương trình luôn có nghiệm

b: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì 2m-3<0

hay m<3/2

c: Để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia thì ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1-2x_2=0\\x_1+x_2=2m-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3x_2=-2m+2\\x_1=2x_2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{2m-2}{3}\\x_1=\dfrac{4m-4}{3}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1x_2=2m-3\)

\(\Leftrightarrow2m-3=\dfrac{2m-2}{3}\cdot\dfrac{4m-4}{3}\)

\(\Leftrightarrow8\left(m-1\right)^2=9\left(2m-3\right)\)

\(\Leftrightarrow8m^2-16m+8-18m+27=0\)

\(\Leftrightarrow8m^2-34m+35=0\)

\(\text{Δ}=\left(-34\right)^2-4\cdot8\cdot35=36>0\)

Do đó: Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left\{{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{34-6}{16}=\dfrac{28}{16}=\dfrac{7}{4}\\m_2=\dfrac{34+6}{16}=\dfrac{40}{16}=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)