Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M và N là 2 điểm phân biệt, di động lần lượt trên trục hoành và trục tung sao cho đoạn thẳng MN luôn đi qua điểm cố định (1;2). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T=\frac{1}{OM^2}+\frac{1}{ON^2}\)là...
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 2 2021
Ta có \(M\left(2;-1\right)\)
Gọi phương trình đường thẳng d qua M có dạng: \(y=ax+b\)
\(\Rightarrow-1=2a+b\Rightarrow b=-2a-1\)
\(\Rightarrow y=ax-2a-1\)
Để d cắt 2 trục tọa độ \(\Rightarrow a\ne\left\{0;-\dfrac{1}{2}\right\}\)
\(\Rightarrow A\left(\dfrac{2a+1}{a};0\right)\) ; \(B\left(0;-2a-1\right)\) \(\Rightarrow OA=\left|x_A\right|=\left|\dfrac{2a+1}{a}\right|\) ; \(OB=\left|y_B\right|=\left|2a+1\right|\)
Ta có: \(S_{OMA}=\dfrac{1}{2}\left|y_M\right|.OA=\dfrac{1}{2}\left|\dfrac{2a+1}{a}\right|\)
\(S_{OMB}=\dfrac{1}{2}\left|x_M\right|.OB=\left|2a+1\right|\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}\left|\dfrac{2a+1}{a}\right|=\left|2a+1\right|\Leftrightarrow\dfrac{1}{2\left|a\right|}=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\a=-\dfrac{1}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Phương trình: \(y=\dfrac{1}{2}x-2\)
29 tháng 6 2021
a) Thay x=-1 vào (P), ta được:
\(y=\left(-1\right)^2=1\)
Thay x=2 vào (P), ta được:
\(y=2^2=4\)
Vậy: M(-1;1) và N(2;4)
Gọi (d):y=ax+b là ptđt đi qua hai điểm M và N
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-a+b=1\\2a+b=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3a=-3\\-a+b=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b-1=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\end{matrix}\right.\)
Vậy: (d): y=x+2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 12 2020
a.
\(\left\{{}\begin{matrix}x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{2-4}{2}=-1\\y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{1+5}{2}=3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I\left(-1;3\right)\)
b.
Do C thuộc trục hoành, gọi tọa độ C có dạng \(C\left(c;0\right)\)
Do D thuộc trục tung, gọi tọa độ D có dạng \(D\left(0;d\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AC}=\left(c-2;-1\right)\\\overrightarrow{DB}=\left(-4;5-d\right)\Rightarrow2\overrightarrow{DB}=\left(-8;10-2d\right)\end{matrix}\right.\)
Để \(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{DB}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c-2=-8\\-1=10-2d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=-6\\d=\dfrac{11}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy \(C\left(-6;0\right)\) và \(D\left(0;\dfrac{11}{2}\right)\)
Gọi phương trình đường thẳng d qua M, N có dạng \(y=ax+b\)
Do d qua \(A\left(1;2\right)\Rightarrow2=a+b\Rightarrow b=2-a\)
Phương trình d: \(y=ax-a+2\)
Tọa độ M là giao của d với Ox :
\(\Rightarrow y_M=0\Rightarrow0=ax_M-a+2\Rightarrow x_M=\frac{a-2}{a}\Rightarrow OM=\left|\frac{a-2}{a}\right|\)
Tọa độ N là giao của d với Oy
\(\Rightarrow x_N=0\Rightarrow y_N=0.a-a+2=-a+2\Rightarrow ON=\left|-a+2\right|=\left|a-2\right|\)
\(T=\frac{1}{OM^2}+\frac{1}{ON^2}=\frac{1}{\left(\frac{a-2}{a}\right)^2}+\frac{1}{\left(a-2\right)^2}=\frac{a^2+1}{\left(a-2\right)^2}=\frac{5a^2+5}{5\left(a-2\right)^2}\)
\(T=\frac{a^2-4a+4+4a^2+4a+1}{5\left(a-2\right)^2}=\frac{\left(a-2\right)^2+\left(2a+1\right)^2}{5\left(a-2\right)^2}=\frac{1}{5}+\frac{\left(2a+1\right)^2}{5\left(a-2\right)^2}\ge\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow T_{min}=\frac{1}{5}\) khi \(a=-\frac{1}{2}\)