Question

[Hoàng Thu Huyền]

cho 2018 số tự nhiên là a_1;a_2;a₃;.....a₂₀₁₈ đều là các số lớn hơn 1 thỏa mãn điều kiện 1/a^2₁+1/a^2₂+1/a^2₃+.....+1/a^{2₂₀₁₈}=1.Chứng minh rằng trong 2018 số này ,ít nhất sẽ có 2 số bằng nhau.

Answer 1

[Witch Rose]

Giả sử trong 2018 số này không tồn tại 2 số nào bằng nhau.

Giả sử \(a_1>a_2>...>a_{2018}\)

\(\Rightarrow a_{2018}\ge2,a_{2017}\ge3,...,a_1\ge2019\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+...+\frac{1}{a_{2018}^2}\le\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2019^2}\)\(< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2018.2019}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2018}-\frac{1}{2019}< 1\)(mâu thuẫn với giả thiết)

=> điều giả sử không xảy ra=>đpcm

Answer 2

[Kudo Shinichi]

Giả sử trong 2018 số đó chẳng có số nào bằng nhau và tất cả các số đều lớn hơn 1. Thế thì:

1a21+1a22+1a23+…+1a220181a12+1a22+1a32+…+1a20182≤122+132+142+…+120192≤122+132+142+…+120192

Cơ mà:

122+132+142+…+120192122+132+142+…+120192<11.2+12.3+13.4+…+12018.2019<11.2+12.3+13.4+…+12018.2019

=1–12019<1=1–12019<1 (theo phần a)

Thế nhưng đề bài cho 1a21+1a22+1a23+…+1a22018=11a12+1a22+1a32+…+1a20182=1 (vô lý)

Vậy thể nào trong 2018 số tự nhiên đó cũng có 2 số bằng nhau