Question

[Sách Giáo Khoa]

Cho điểm \(M\left(1;-2\right)\) và đường thẳng \(\Delta\) có phương trình :

                    \(3x-4y-1=0\)

a) Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua đường thẳng  \(\Delta\)

b) Viết phương trình đường thẳng  \(\Delta'\) đối xứng với  \(\Delta\) qua điểm M

c) Viết phương trình đường tròn tâm M và tiếp xúc với đường thẳng  \(\Delta\)

     

Answer 1

[Xuân Tuấn Trịnh]

a) Ta có: d_{(M;\(\Delta\))}=\(\dfrac{\left|3.1+4.2-1\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=2\)

PTTS của \(\Delta\):\(\left\{{}\begin{matrix}x=4t-1\\y=3t-1\end{matrix}\right.\)

Gọi H là hình chiếu của M trên\(\Delta\)=>\(\exists t\in R\)để H(4t-1;3t-1)

MH=2 =>(4t-2)²+(3t+1)²=4

<=>25t²+10t+1=0

<=>(5t+1)²=0

<=>\(t=-\dfrac{1}{5}\)

=>H\(\left(-\dfrac{9}{5};-\dfrac{8}{5}\right)\)

M' đối xứng với M qua \(\Delta\)=> H là TĐ của MM'

=>tọa độ M'\(\left(-\dfrac{23}{5};-\dfrac{6}{5}\right)\)

b)\(\Delta'\)đối xứng \(\Delta\)qua M=>VTPT của \(\Delta'\)là \(\overrightarrow{n}=\left(3;-4\right)\)(1)

Lấy I(-1;-1) => I thuộc \(\Delta\)

Lấy I' đối xứng I qua M=>I'(3;-3) \(\in\Delta'\)(2)

Từ (1) và (2) => phương trình \(\Delta':\)3(x-3)-4(y+3)=0

hay 3x-4y-21=0

c)Đường tròn (C) có tâm M(1;-2) tiếp xúc \(\Delta\)=> bán kính đường tròn bằng \(d_{\left(M;\Delta\right)}\)=2

=>Phương trình đường tròn:

(C): (x-1)²+(y+2)²=4