Question

[Lê Anh Hiếu]

Bài toán 1. So sánh: 2009²⁰ và 20092009¹⁰

Bài toán 2. Tính tỉ số , biết:

 

Bài toán 3. Tìm x; y biết:

a. . 25 – y² = 8( x – 2009)

b. x³ y = x y³ + 1997

c. x + y + 9 = xy – 7.

Bài toán 4. Cho n số x₁, x₂, ..., x_n mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1. Chứng minh rằng nếu x₁.x₂ + x₂.x₃ + ...+ x_n.x₁ = 0 thì n chia hết cho 4.

Bài toán 5. Chứng minh rằng:

Bài toán 6. Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức: A(x) = ( 3 - 4x + x² )²⁰⁰⁴ .( 3 + 4x + x² )²⁰⁰⁵

Bài toán 7. Cho a là số gồm 2n chữ số 1, b là số gồm n + 1 chữ số 1, c là số gồm n chữ số 6. Chứng minh rằng a + b + c + 8 là số chính phương.

Bài toán 8. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a, tồn tại số tự nhiên b sao cho ab + 4 là số chính phương.

Bài toán 9. Cho hai số tự nhiên a và b (a < b). Tìm tổng các phân số tối giản có mẫu bằng 7, mỗi phân số lớn hơn a nhưng nhỏ hơn b.

Bài toán 10. Chứng minh rằng: A = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + n là số chính phương (n lẻ).

Bài toán 11. Tìm n biết rằng: n³ - n² + 2n + 7 chia hết cho n² + 1.

Bài toán 12. Tìm số tự nhiên n để 1ⁿ + 2ⁿ + 3ⁿ + 4ⁿ chia hết cho 5.

Answer 1

[Đặng Ngọc Quỳnh]

Bài 1: 

\(2009^{20}=\left(2009^2\right)^{10}=\left(2009.2009\right)^{10}\)

\(2009.2009^{10}=\left(10001.2009\right)^{10}\)

Ta thấy:

\(2009< 10001\Rightarrow2009.2009< 1001.2009\)

\(\Rightarrow\left(2009.2009\right)^{10}< \left(10001.2009\right)^{10}\)

\(\Rightarrow2009^{20}< 20092009^{10}\)

Bài 3: 

a) Vì \(x,y\in Z\Rightarrow25-y^2⋮8\Rightarrow25-y^2=\left\{0;8;16;24\right\}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=\pm5\Rightarrow x=0\\y=\sqrt{17}\left(lo\text{ại}\right)\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}y=\pm3\Rightarrow x=2011\\y=\pm1\Rightarrow x=2012\end{cases}}\)

b) \(x^3y=xy^3+1997\)

\(\Leftrightarrow x^3y-xy^3=1997\)

\(\Leftrightarrow xy\left(x^2-y^2\right)=1997\)

\(\Leftrightarrow xy\left(x+y\right)\left(x-y\right)=1997\)

Ta có: 1997 là số nguyên tố; xy(x+y)(x-y) là hợp số

\(\Rightarrow\left(x;y\right)\in\varnothing\) 

c) \(x+y+9=xy-7\)

\(\Rightarrow x+y+16=xy\Rightarrow x+16=xy-y=y\left(x-1\right)\)

\(\Rightarrow y=\frac{x+16}{x-1}\left(x\ne1\right)\)

Mà do y thuộc Z\(\Rightarrow\frac{x+16}{x-1}\in Z\Rightarrow x+16⋮x-1\Rightarrow\left(x-1\right)+17⋮x-1\Rightarrow x-1\in\text{Ư}\left(17\right)=\left\{\pm1;\pm17\right\}\)

\(x\in\left\{0;2;-16;18\right\}\)(Thỏa mãn do khác 1)

+)  Nếu \(x=0\Rightarrow16+y=0\Rightarrow y=-16\)

+) Nếu \(x=2\Rightarrow18+y=2y\Rightarrow y=18\)

+) Nếu \(x=-16\Rightarrow y=-16y\Rightarrow y=0\)

+) Nếu \(x=18\Rightarrow y=2\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(0,-16\right);\left(2;18\right);\left(-16;0\right);\left(18;2\right)\)

Bài 4:

n số \(x_1,x_2,x_3,....,x_n\)mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1

\(\Rightarrow\)n tích \(x_1.x_2+x_2.x_3+...+x_n.x_1\)mỗi tích bằng 1 hoặc -1

Mà: \(x_1.x_2+x_2.x_3+...+x_n.x_1=0\)

=> Số tích có giá trị bằng 1 hoặc -1 và bằng \(\frac{n}{2}\)

\(\Rightarrow n⋮2\)(n chẵn)

Xét \(A=\left(x_1.x_2\right).\left(x_2.x_3\right)....\left(x_n.x_1\right)\)

=> x₁².x₂²....x_n²=1>0

=> Số thừa số -1 là số chẵn

=>n/2 chẵn

=> n chia hết cho 4(đpcm)

Answer 2

[Đặng Ngọc Quỳnh]

Bài 6:

Hướng dẫn: giả sử \(A\left(x\right)=a_o+a_1x+a_2x^2+...+a_{4018}x^{4018}\)

Khi đó A(1)\(=a_o+a_1+a_2+...+a_{4018}\)

do A(1) =0 nên \(a_o+a_1+a_2+...+a_{4018}=0\)

Bài 7:

Gợi ý: Đặt x=111.1( n chữ số 1)

Ta có: 10ⁿ=9x+1

=> a=x10ⁿ+x=x(9x+1)+x;b=10x+1;c=6x

Ta có: a+b+c+8=x(9x+1)+x+10x+1+6x+8=9x²+18x+9=(3x+3)²

Cách khác: Quy về dạng tổng quát : a=(10²ⁿ-1):9,...

Bài 9:

- Những phân số lớn hơn a nhỏ hơn b có mẫu là 7 là:

\(a+\frac{1}{7};a+\frac{2}{7};a+\frac{3}{7};...;b-\frac{2}{7};b-\frac{1}{7}\)

Tổng của chúng là: \(A=\left(a+\frac{1}{7}\right)+\left(a+\frac{2}{7}\right)+...+\left(b-\frac{2}{7}\right)+\left(b-\frac{1}{7}\right)\)

\(=\frac{1}{7}\text{[}\left(7a+1\right)+\left(7a+2\right)+...+\left(7b-2\right)+\left(7b-1\right)\text{]}\)

\(=\frac{1}{7}.\frac{1}{2}\text{[}\left(7a+1\right)+\left(7b-1\right)\text{]}\text{[}\left(7b-1\right)-\left(7a+1\right)+1\text{]}\)

\(=\frac{1}{14}\left(7a+7b\right)\left(7b-7a-1\right)=\frac{1}{2}\left(a+b\right)\left(7b-7a-1\right)\)

- Những phân số lớn hơn a nhỏ hơn b sau khi rút gọn(vì 7 là số nguyên tố) là:

a+1;a+2;...;b-2;b-1

Tổng của chúng là: \(B=\left(a+1\right)+\left(a+2\right)+...+\left(b-2\right)+\left(b-1\right)\)

\(=\frac{1}{2}\text{[}\left(a+1\right)+\left(b-1\right)\text{]}\text{[}\left(b-1\right)-\left(a+1\right)+1\text{]}\)

\(=\frac{1}{2}\text{[}\left(a+b\right)\text{]}\text{[}b-a-1\text{]}\)

Tổng phải tìm là: \(A-B=\frac{1}{2}\left(a+b\right)\left(7b-7a-1\right)-\frac{1}{2}\text{[}\left(a+b\right)\text{]}\text{[}b-a-1\text{]}=3\left(a^2-b^2\right)\)

Bài 10:

Đặt \(n=2k-1\left(k\in N,k>1\right)\). Ta có:

\(A=1+3+5+...+\left(2k-1\right)=\frac{1+\left(2k-1\right)}{2}.k=k^2\)

Vậy A là số chính phương