cho x,y,z khac 0; x+y+z khac 0. cmr 1/x+1/y+1/z=1/x+y+z thi 1/x^2021+1/y^2021+1/z^2021=1/x^2021+y^2021+z^2021
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
0
TN
1
NV
21 tháng 10 2018
\(x^2=yz\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{z}{x}\)
\(y^2=xz\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{y}{z}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}=\frac{x+y+z}{y+z+x}\)
Do x, y, z \(\ne\)0 \(\Rightarrow\frac{x+y+z}{y+z+x}=1\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}=1\\\frac{y}{z}=1\\\frac{z}{x}=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^{999}}{x^{222}.y^{333}.z^{444}}=\frac{\left(3x\right)^{999}}{x^{222}.x^{333}.x^{444}}=\frac{3^{999}.x^{999}}{x^{999}}=3^{999}\)
Vậy.............
21 tháng 10 2018
Giả sử một trong 3 số x, y, z bằng 0 thì ta chứng minh được hai số còn lại bằng 0 (trái với x + y + z ≠ 0)
Do đó x, y, z khác 0
Ta có: \(x^2=yz\Leftrightarrow z=\frac{x^2}{y}\left(1\right)\)
\(y^2=xz\Leftrightarrow z=\frac{y^2}{x}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{x^2}{y}=\frac{y^2}{x}\Leftrightarrow x^3=y^3\Leftrightarrow x=y\)
Thay x = y vào \(x^2=yz\Rightarrow y^2=yz\Leftrightarrow y^2-yz=0\Leftrightarrow y\left(y-z\right)=0\)
=> y = 0 hoặc y - z = 0
Do y khác 0 nên y - z = 0 <=> y = z <=> x = y = z
Thay x = y = z vào A ta có:
\(A=\frac{\left(x+y+z\right)^{999}}{x^{222}.y^{333}.z^{444}}=\frac{\left(x+x+x\right)^{999}}{x^{222}.x^{333}.x^{444}}=\frac{\left(3x\right)^{999}}{x^{999}}=\frac{3^{999}x^{999}}{x^{999}}=3^{999}\)
KV
1
C
0
NV
0
NM
0
OK
0
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{1}{x+y+z}-\dfrac{1}{z}\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{-(x+y)}{(x+y+z).z}\)
\(\Leftrightarrow(x+y)\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{\left(x+y+z\right).z}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\left(1\right)\\\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{(x+y+z).z}=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Khi đó (2) \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{xy}=\dfrac{-1}{(x+y+z).z}\)
\(\Leftrightarrow xy=-(x+y+z).z\)
<=> xy + xz + yz + z2 = 0
<=> (y + z)(x + z) = 0
<=> \(\left[{}\begin{matrix}y+z=0\\x+z=0\end{matrix}\right.\)
Với x + y = 0 <=> x = -y <=> x2021 = - y2021
<=> \(\dfrac{1}{x^{2021}}+\dfrac{1}{y^{2021}}=0\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^{2021}}+\dfrac{1}{y^{2021}}+\dfrac{1}{z^{2021}}=\dfrac{1}{z^{2021}}\) (4)
Khi đó \(\dfrac{1}{x^{2021}+y^{2021}+z^{2021}}=\dfrac{1}{z^{2021}}\) (5)
Từ (4) (5) => đpcm
Tương tự với 2 trường hợp còn lại => ĐPCM