Question

[Cuồng Sơn Tùng M-tp]

cho tam giác ABC vuông tại A có góc B = 60 độ , tia phân giác góc ABC cắt AC tại I . kẻ IE vuông góc vs BC , CM vuông góc vs BI . cmr :

a) tam giác BAE đều ;

b) EB = EC ;

c) IB+IC > AB+EC ;

d) gọi K là giao điểm của AB và CM . cmr : K , I , E thẳng hàng

Answer 1

[Trương Hồng Hạnh]

Ta có hình vẽ:

a/ Xét hai tam giác vuông ABI và EBI có:

góc ABI = góc EBI (BI là pg góc ABC)

BI: cạnh chung

=> tam giác ABI = tam giác EBI

=> BA = BE

Mà góc ABC = 60⁰

=> tam giác BAE đều.

b/ Ta có: tam giác ABC vuông tại A

=> góc B + góc C = 90⁰

hay 60⁰ + góc C = 90⁰

=> góc C = 30⁰

Ta lại có: BI là pg góc ABC

=> góc ABI = góc IBC = 60⁰ / 2 = 30⁰

=> góc IBC = góc ICB = 30⁰

=> tam giác IBC cân tại I

Mà IE là đường cao của tam giác IBC

=> IE cũng là trung tuyến của tam giác IBC

=> EB = EC (đpcm)

c/ Trong tam giác ABI vuông tại A

=> góc A > góc I

=> IB > AB

Trong tam giác ICE vuông tại E :

=> góc E > góc I

=> IC > EC

Ta có: IB > AB; IC > EC

=> IB + IC > AB + EC (đpcm).

d/ Ta có: BM là đường cao của tam giác BKC

Ta có: CA là đường cao của tam giác BKC

Mà BM cắt CA tại I

=> I là trực tâm của tam giác BKC

KE là đường cao còn lại của tam giác BKC (KE vuông góc BC)

=> I thuộc KE

=> K; I; E thẳng hàng.