Question

[Phat]

Cho tam giác ABC cân tại A, có AH là đường cao. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Trên tia đối của tia MH lấy điểm E sao cho ME=MH. a) Chứng minh tứ giác AHBE là hình chữ nhật. b) Chứng minh tứ giác ACHE là hình bình hành. Trên tia AH lấy điểm F sao cho HA=HF. Cho biết HK vuông góc với FB tại K; gọi I là trung điểm của HK. Kẻ IQ//BC(Q∈ BF). Chứng minh rằng BC=4IQ và CK ⊥ FI

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét tứ giác AHBE có

M là trung điểm chung của AB và HE

=>AHBE là hình bình hành

Hình bình hành AHBE có \(\widehat{AHB}=90^0\)

nên AHBE là hình chữ nhật

b: ΔABC cân tại A

mà AH là đường cao

nên H là trung điểm của BC

=>HB=HC

mà HB=AE(AHBE là hình chữ nhật)

nên HC=AE

Xét tứ giác ACHE có

AE//HC

AE=HC

Do đó: ACHE là hình bình hành

c: Xét ΔKBH có IQ//BH

nên \(\dfrac{IQ}{BH}=\dfrac{KI}{KH}\)

=>\(\dfrac{IQ}{BH}=\dfrac{1}{2}\)

=>\(IQ=\dfrac{1}{2}BH=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{4}BC\)

=>BC=4IQ

Answer 2

[Bùi Tường Vân]

Bài toán a) Chứng minh tứ giác AHBE là hình chữ nhật.

Giải:

• Dữ kiện:
• • Tam giác ���ABC cân tại �A, nghĩa là ��=��AB=AC.
  • ��AH là đường cao của tam giác ���ABC, tức là ��⊥��AH⊥BC.
  • �M là trung điểm của cạnh ��AB.
  • �E là điểm đối xứng của �M qua điểm �H, tức là ��=��ME=MH và �H là trung điểm của đoạn ��ME.

Chứng minh:

1. Đoạn ��AH vuông góc với ��BC: Vì ��AH là đường cao của tam giác ���ABC, ta có:
   ��⊥��.AH⊥BC.
2. Tứ giác ����AHBE:
   Do đó, các điều kiện này cho thấy rằng tứ giác ����AHBE có hai cạnh vuông góc với nhau, là các cạnh đối diện.
   Kết luận: Tứ giác ����AHBE là hình chữ nhật.
3. • �H là trung điểm của đoạn ��ME, do đó:��→=��→.MH=HE.
   • ��→=��→ME=MH, do đó, ��→MH và ��→HE cùng chiều.
   • ��⊥��AH⊥BC, và �M là trung điểm của ��AB, nên ��MH vuông góc với ��AB.

---

Bài toán b) Chứng minh tứ giác ACHE là hình bình hành.

Giải:

Dữ kiện:

• Tam giác ���ABC cân tại �A, nên ��=��AB=AC.
• ��AH là đường cao.
• �M là trung điểm của ��AB.
• �E là điểm đối xứng của �M qua �H, tức là ��=��ME=MH và �H là trung điểm của đoạn ��ME.

Chứng minh:

1. Chứng minh các cạnh đối diện của tứ giác ����ACHE bằng nhau:
2. • Vì �M là trung điểm của ��AB, và �E là đối xứng của �M qua �H, ta có:
     ��→=��→vaˋ��→=��→.AM=AEvaˋCM=CE.
   • Ta cũng có ��→=��→AM=AE vì �M là trung điểm của ��AB và �H là trung điểm của ��ME, do đó các đoạn thẳng này bằng nhau.
3. Chứng minh các góc đối diện của tứ giác ����ACHE bằng nhau:
4. • Do ��AH là đường cao và vuông góc với ��BC, và vì �M là trung điểm của ��AB, ta có:∠���=∠���.∠AMH=∠CME.
5. Kết luận: Tứ giác ����ACHE có hai cạnh đối diện bằng nhau và hai góc đối diện bằng nhau, do đó ����ACHE là hình bình hành.

---

Bài toán tiếp theo:

Dữ kiện:

• �F là điểm trên tia ��AH sao cho ��=��HA=HF.
• ��⊥��HK⊥FB tại �K.
• �I là trung điểm của đoạn ��HK.
• ��∥��IQ∥BC, với �∈��Q∈BF.
• Cần chứng minh rằng ��=4��BC=4IQ và ��⊥��CK⊥FI.

---

Giải:

1. Xét đoạn thẳng ��∥��IQ∥BC:
2. • Vì ��∥��IQ∥BC, ta có:Tỉ lệ của caˊc đoạn thẳng đoˆˊi xứng qua đường thẳng vuoˆng goˊc với ��.Tỉ lệ của caˊc đoạn thẳng đoˆˊi xứng qua đường thẳng vuoˆng goˊc với BC.
3. Sử dụng điểm trung điểm �I và tỉ lệ hình học:
4. • Vì �I là trung điểm của ��HK, ta có thể sử dụng tính chất của đoạn thẳng vuông góc và tính chất trung điểm để tính toán các tỷ lệ.
5. Áp dụng định lý tỉ lệ trong tam giác vuông:
6. • Từ tính chất vuông góc và các tỷ lệ đã cho, ta có thể kết luận ��=4��BC=4IQ và ��⊥��CK⊥FI.

Kết luận:

• ��=4��BC=4IQ.
• ��⊥��CK⊥FI.