Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
B2: \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=4\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=2\\a+b+c=-2\end{cases}}\)
TH1: \(a+b+c=2\Rightarrow c=2-\left(a+b\right)\)
\(a^2+b^2+c^2=2\)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+\left(2-a-b\right)^2=2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+ab-2\left(a+b\right)+1=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+\left(b-2\right)a+b^2-2b+1=0\)
Xem đây là một phương trình bậc hai ẩn a, tham số b.
Để tồn tại a thỏa phương trình trên thì \(\Delta\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-2\right)^2-4\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow b\left(3b-4\right)\le0\)\(\Leftrightarrow0\le b\le\frac{4}{3}\)
Do vai trò của a, b, c là như nhau nên \(0\le a,b,c\le\frac{4}{3}\)
(hoặc đổi biến thành b và tham số a --> CM được a, rồi thay \(b=2-c-a\) sẽ chứng minh được c)
TH2: \(a+b+c=-2\) --> tương tự trường hợp 1 nhưng kết quả sẽ là
\(-\frac{4}{3}\le a,b,c\le0\)
Kết hợp 2 trường hợp lại, ta có đpcm.
\(P=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{ab+bc+ca}{ab+bc+ca}=1\)
\(P_{min}=1\) khi \(a=b=c=1\)
\(P=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)}{ab+bc+ca}=\dfrac{9}{ab+bc+ca}-2\)
Do \(a;b\ge1\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Rightarrow ab\ge a+b-1=2-c\)
\(\Rightarrow ab+c\left(a+b\right)\ge2-c+c\left(3-c\right)=-c^2+2c+2=c\left(2-c\right)+2\ge2\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{9}{2}-2=\dfrac{5}{2}\)
\(P_{max}=\dfrac{5}{2}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;2;0\right);\left(2;1;0\right)\)
Đặt \(P=\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\)
Ta có: \(\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}=a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+b^2+ab}\ge a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^3b^3}}=a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a-b}{3}\)
Tương tự: \(\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}\ge\dfrac{2b-c}{3}\) ; \(\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\ge\dfrac{2c-a}{3}\)
Cộng vế:
\(P\ge\dfrac{a+b+c}{3}=673\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=673\)
Đặt \(P=2ab+2bc+2abc-5ac\), ta sẽ chứng minh \(-15\le P\le7\)
Ta có:
\(P=2b\left(a+c\right)+2abc-5ac\le b^2+\left(a+c\right)^2+2abc-5ac\)
\(P\le a^2+b^2+c^2+2abc-3ac=6+2abc-3ac=ac\left(2b-3\right)+6\)
- Nếu \(b\le\dfrac{3}{2}\Rightarrow P< 6< 7\) (đúng)
- Nếu \(b>\dfrac{3}{2}\Rightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(a^2+c^2\right)\left(2b-3\right)+6=\dfrac{1}{2}\left(6-b^2\right)\left(2b-3\right)+6\)
\(\Rightarrow P\le7-\dfrac{1}{2}\left(b-2\right)^2\left(2b+5\right)\le7\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;2;1\right)\)
Đồng thời:
\(P=2\left(ab+bc+abc\right)-5ac\ge-5ac\ge-\dfrac{5}{2}\left(a^2+c^2\right)=-\dfrac{5}{2}\left(6-b^2\right)=-15+\dfrac{5}{2}b^2\ge-15\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\sqrt{3};0;\sqrt{3}\right)\)
Để giải bài toán này, ta bắt đầu bằng cách giải thích lại phương trình ban đầu và sau đó tính giá trị của biểu thức \( M \).
Phương trình ban đầu là:
\[ (a+b+c)^2 = a+b+c \]
Điều này chỉ xảy ra khi \( a+b+c = 1 \) (vì nếu \( a+b+c = 0 \), thì phương trình sẽ không thỏa mãn vì \( 0^2 \neq 0 \)).
Tiếp theo, giải thích biểu thức \( M \):
\[ M = \frac{bc}{a^2} + \frac{ca}{b^2} + \frac{ab}{c^2} \]
Với điều kiện \( abc \neq 0 \), ta có thể tính toán giá trị của \( M \) khi \( a+b+c = 1 \).
Giả sử \( a = b = c = \frac{1}{3} \):
- Tính \( M \):
\[ M = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)^2} + \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)^2} + \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)^2} \]
\[ M = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{9}} + \frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{9}} + \frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{9}} \]
\[ M = 1 + 1 + 1 \]
\[ M = 3 \]
Vậy, khi \( a = b = c = \frac{1}{3} \), thì \( M = 3 \).
Do đó, kết quả của biểu thức \( M \) khi \( a+b+c = 1 \) và \( abc \neq 0 \) là \( \boxed{3} \).