Question

[Trần Hoàng Minh]

với x, y, z >0, chứng minh (x² + 1)(y² + 1)(z² + 1) ≥\(\dfrac{3}{4}\)(x+y+z)²

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(x^2+1)[1+(y+z)^2]\geq (x+y+z)^2$

$\Rightarrow \frac{3}{4}(x^2+1)[1+(y+z)^2]\geq \frac{3}{4}(x+y+z)^2$
Giờ ta chỉ cần cm:

$(y^2+1)(z^2+1)\geq \frac{3}{4}[1+(y+z)^2]$
$\Leftrightarrow 4(y^2z^2+y^2+z^2+1)\geq 3(y^2+z^2+2yz+1)$

$\Leftrightarrow 4y^2z^2+1+y^2+z^2-6yz\geq 0$

$\Leftrightarrow (2yz-1)^2+(y-z)^2\geq 0$ (luôn đúng)

Do đó ta có đpcm

Answer 2

[Tạ Tài Đức]

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

(�2+1)[1+(�+�)2]≥(�+�+�)2(x2+1)[1+(y+z)2]≥(x+y+z)2

⇒34(�2+1)[1+(�+�)2]≥34(�+�+�)2⇒43​(x2+1)[1+(y+z)2]≥43​(x+y+z)2
Giờ ta chỉ cần cm:

(�2+1)(�2+1)≥34[1+(�+�)2](y2+1)(z2+1)≥43​[1+(y+z)2]
⇔4(�2�2+�2+�2+1)≥3(�2+�2+2��+1)⇔4(y2z2+y2+z2+1)≥3(y2+z2+2yz+1)

⇔4�2�2+1+�2+�2−6��≥0⇔4y2z2+1+y2+z2−6yz≥0

⇔(2��−1)2+(�−�)2≥0⇔(2yz−1)2+(y−z)2≥0 (luôn đúng)

Do đó ta có điều phải chứng minh