Question

[Bùi Thu Hà]

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi I là trung điểm của cạnh AC. Đường thẳng qua I vuông góc với BC, cắt đường thẳng vuông góc AC tại C ở E. Chứng minh rằng AE vuông góc với BI.

Answer 1

[Vũ Đào Duy Hùng (haeng2010)]

Gọi O là giao điểm của AE và BI. 
Do I là trung điểm của AC nên AI = IC. 
Gọi H là hình chiếu của I lên BC. 
Do HI vuông góc với BC nên tam giác BHI và CHI là các tam giác vuông cân tại I.
Trong tam giác BHI, ta có $$BH^2 + IH^2 = BI^2$$.
Trong tam giác CHI, ta có $$CH^2 + IH^2 = CI^2$$.
Cộng ta được $$BH^2 + CH^2 + 2IH^2 = BI^2 + CI^2$$.
Nhưng $$BH + CH = BC$$ và $$BI^2 + CI^2 = BC^2$$ (do tam giác BIC là tam giác vuông tại I), nên ta có $$BC^2 + 2IH^2 = BC^2$$.
Điều này chỉ ra rằng $$IH = 0$$, tức là I trùng với H.
Do I trùng với H, điểm I nằm trên BC. Vì vậy, đường thẳng AE (đường thẳng vuông góc với BC tại E) sẽ vuông góc với BI tại I.
Vậy AE vuông góc với BI. 

Answer 2

[Khiêm Nguyễn Gia]

Gọi \(F\) là giao điểm của \(AB\) và \(EI\)
Xét \(\Delta IAF\) và \(\Delta ICE\)
có: \(\widehat{IAF}=\widehat{ICE}=90^o\left(gt\right)\)
      \(IA=IC\left(gt\right)\)
      \(\widehat{AIF}=\widehat{CIE}\) (đối đỉnh)
\(\Rightarrow\Delta IAF=\Delta ICE\left(g-c-g\right)\)
\(\Rightarrow IF=IE\) (hai cạnh tương ứng)
Xét tứ giác \(AFCE\)
có: \(IA=IC\left(gt\right)\)
      \(IF=IE\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác \(AFCE\) là hình bình hành
\(\Rightarrow AE//FC\left(1\right)\)
Xét \(\Delta BFC\)
có: \(CI\perp BF\left(gt\right)\)
      \(FI\perp BC\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow I\) là trực tâm của \(\Delta BFC\)
\(\Rightarrow BI\perp FC\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) \(\Rightarrow AE\perp BI\left(đpcm\right)\)