Question

[Thầy Cao Đô]

Cho hình thang $ABCD$ ($AB$ // $CD$) có $BC=BD$. Gọi $H$ là trung điểm của $CD$, đường thẳng đi qua $H$ cắt $AC$, $AD$ lần lượt tại $E$ và $ F$. Chứng minh rằng $\widehat{DBF}=\widehat{EBC}$.

Answer 1

[Nguyễn Phương Thảo]

chào nhé

Answer 2

[Vũ Đức Phúc]

Gọi $BF$ cắt $DC$ tại $K$, $BE$ cắt $DC$ tại $I$, và $EF$ cắt $AB$ tại $G$.

$\Delta FAB$ có $DK$ // $AB$ suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{DK}{AB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{FD}{FA}$ (1)

$\Delta FAG$ có $DH$ // $AG$ suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{DH}{AG}=\genfrac{}{}{0ex}{}{FD}{FA}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{DK}{AB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{DH}{AG}$ hay $\genfrac{}{}{0ex}{}{DK}{DH}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AB}{AG}$ (*)

Tương tự $\Delta EIC$ có $AB$ // $IC$ suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{IC}{AB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{EC}{EA}$ (3)

$\Delta EHC$ có $HC$ // $AB$ suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{HC}{AG}=\genfrac{}{}{0ex}{}{EC}{EA}$ (4)

Từ (3) và (4) ta có $\genfrac{}{}{0ex}{}{IC}{AB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{HC}{AG}$ hay $\genfrac{}{}{0ex}{}{IC}{HC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AB}{AG}$ (**)

Từ (*) và (**) ta có $\genfrac{}{}{0ex}{}{DK}{DH}=\genfrac{}{}{0ex}{}{IC}{HC}$.

Mà $DH=HC$ (gt) suy ra $DK=IC$

Mặt khác $BD=BC$ (gt) nên $\Delta BDC$ cân

Suy ra $\widehat{BDK}=\widehat{BCI}$

Vậy $\Delta BDK=\Delta BCI$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat{DBK}=\widehat{CBI}$.