Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt A=.....
Dễ dàng biến đổi \(A=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\)
Có :\(\frac{x^2}{y-1}+4\left(y-1\right)\ge4x\)và \(\frac{y^2}{x-1}+4\left(x-1\right)\ge4y\)
Khi đó :\(A\ge4x+4y-4\left(x-1\right)-4\left(y-1\right)=8\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=2\)
Phần dấu = tớ làm hơi tắt. bạn nên tb rõ nhé
\(A=\frac{\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=\frac{x^3-x^2+y^3-y^2}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=\frac{x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}.\)
Áp dụng BĐT Côsy Schwarz \(\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}\ge\frac{\left(a_1+a_2\right)^2}{b_1+b_2}\)(Bạn có thể chứng minh được theo Bunhiacopxki - hoặc xem về BĐT Côsy Schwarz trên mạng)
cho các số dương a1=x;a2=y;b2=x-1;b2=y-1. Ta có:
\(A=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}=\frac{\left(x+y\right)^2-4+4}{x+y-2}=x+y+2+\frac{4}{x+y-2}=\)
\(=4+\left\{\left(x+y-2\right)+\frac{4}{x+y-2}\right\}\)
Vì x+y-2 >0. Áp dụng BĐT Cô sy cho 2 số \(\left(x+y-2\right);\frac{4}{x+y-2}\)
\(A\ge4+\left\{\left(x+y-2\right)+\frac{4}{x+y-2}\right\}\ge4+2\sqrt{\left(x+y-2\right)\cdot\frac{4}{x+y-2}}=4+2\sqrt{4}=8\)
Vậy A>=8. Dấu bằng xảy ra khi x=y=2 (ĐPCM).
\(xy+yz+zx=xyz\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Đặt \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\) thì
\(\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\P=\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{1}{16}\end{cases}}\)
Ta co:
\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{1+b}{64}+\frac{1+c}{64}\ge\frac{3a}{16}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\frac{3a}{16}-\frac{b}{64}-\frac{c}{64}-\frac{1}{32}\)
Từ đây ta co:
\(P\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{3}{16}-\frac{1}{64}-\frac{1}{64}\right)-\frac{3}{32}=\frac{1}{16}\)
\(D=\frac{\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-x\right)}\)
=\(\frac{x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)
=\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(bđt svac-xơ)
Đặt x+y=a(a>2 do x,y>1)
=> \(D\ge\frac{a^2}{a-2}=\frac{\left(a^2-8a+16\right)+8\left(a-2\right)}{a-2}=\frac{\left(a-4\right)^2}{a-2}+8\ge8\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=4 và x=y <=> x+y=4 và x=y <=> x=y=2
Vậy minD=8 <=>x=y=2
\(\Sigma\dfrac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}=\Sigma\left(\dfrac{1}{9}.\dfrac{a^2\left(2+1\right)^2}{2a.\left(\Sigma a\right)+2a^2+bc}\right)\le\Sigma\left(\dfrac{1}{9}.\dfrac{4a^2}{2a\left(\Sigma a\right)}+\dfrac{1}{9}.\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)
\(=\Sigma\left(\dfrac{1}{9}.\left(\dfrac{2a}{\Sigma a}+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\right)=\dfrac{1}{9}\left(2+\Sigma\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)
Cần chứng minh \(\Sigma\frac{a^2}{2a^2+bc}\le1\)
<=> \(\Sigma\frac{bc}{2a^2+bc}\ge1\) (*)
Đặt (x;y;z) -------> \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\)
Suy ra (*) <=> \(\Sigma\frac{x^2}{x^2+2xy}\ge1\Leftrightarrow\frac{\Sigma x^2}{\Sigma x^2}\ge1\) (đúng)
Vậy \(\Sigma\frac{a^2}{2a^2+bc}\le1\)
Suy ra \(\Sigma\frac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}\le\frac{1}{9}\left(2+\Sigma\frac{a^2}{2a^2+bc}\right)\le\frac{1}{9}\left(2+1\right)=\frac{1}{3}\)
Đẳng thức xảy ra <=> x = y = z = 1
dự đoán điểm rơi : x = y = z > 0
dùng Cô si :bớt. Ta làm như sau
Giải : Đặt P = \(\frac{x^3}{y\left(z+2x\right)}+\frac{y^3}{z\left(x+2y\right)}+\frac{z^3}{x\left(y+2z\right)}.\)áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương.
ta có : \(\frac{x^3}{y\left(z+2x\right)}+\frac{y}{3}+\frac{z+2x}{9}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3.y.\left(z+2x\right)}{y.\left(z+2x\right).3.9}}=x.\left(1\right)..\)
chứng minh tương tự ta có :
\(\frac{y^3}{z.\left(x+2y\right)}+\frac{z}{3}+\frac{x+2y}{9}\ge y\left(2\right).\)\(\frac{z^3}{x.\left(y+2z\right)}+\frac{x}{3}+\frac{y+2z}{9}\ge z.\left(3\right).\)
Cộng vế với vế các bất đẳng thức (1) , (2) và (3) ta được :
\(P+\frac{2}{3}.\left(x+y+z\right)\ge x+y+z\)
=> \(P\ge\frac{x+y+z}{3}.\) đấu " = " xẩy ra khi x = y = z > 0 ( đpcm )