Câu hỏi của Nguyen Hong Ngoc

Question

Cho ab là số nguyên chứng minh rằng:

Cho a⁷b³ - a³ b⁷chia hết cho 30

Lê Song Phương · Accepted Answer

$P=a^7b^3-a^3b^7$

$P=a^3b^3\left(a^4-b^4\right)$

$P=a^3b^3\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)$

Ta sẽ chứng minh $P$ chia hết cho 5 và cho 6.

a) CM $5|P$. Kí hiệu $\left(a;b\right)$ là cặp số dư lần lượt của a và b khi chia cho 5.

Nếu a hoặc b chia hết cho 5 thì xong. Còn nếu $a\equiv b\left(mod5\right)$ cũng coi như hoàn tất. $a+b\equiv0\left(mod5\right)$ cũng như thế.

Do đó ta loại đi được các trường hợp $\left(0;0\right),\left(1;1\right),\left(2;2\right),\left(3;3\right),\left(4;4\right)$ và $\left(1;4\right),\left(2;3\right),\left(3;2\right),\left(4;1\right)$ và $\left(0;1\right),\left(0;2\right),\left(0;3\right),\left(0;4\right),\left(1;0\right),\left(2;0\right),\left(3;0\right),\left(4;0\right)$

Ta chỉ còn lại 8 trường hợp là $\left(1;2\right),\left(1;3\right),\left(2;4\right),\left(3;4\right)$ và các hoán vị. Nếu $\left(a;b\right)\equiv\left(1;2\right)\left(mod5\right)$ thì $a^2+b^2=\left(5k+1\right)^2+\left(5l+2\right)^2=25k^2+10k+1+25l^2+20l+4=5P+5⋮5$

Các trường hợp còn lại xét tương tự $\Rightarrow5|P$.

b) CM $6|P$. Ta thấy $a^3b^3\left(a-b\right)\left(a+b\right)$ luôn là số chẵn (nếu $a\equiv b\left(mod2\right)$ thì $2|a-b$, còn nếu $a\ne b\left(mod2\right)$ thì $2|a^3b^3$.

Đồng thời, cũng dễ thấy $3|P$ vì nếu $a$ hay $b$ chia hết cho 3 thì coi như xong. Nếu $a\equiv b\left(mod3\right)$ cũng xong. Còn nếu $a+b\equiv0\left(mod3\right)$ thì cũng hoàn tất.

Suy ra $6|P$

Từ đó suy ra $30|P$

Câu trả lời:

$P=a^7b^3-a^3b^7$

$P=a^3b^3\left(a^4-b^4\right)$

$P=a^3b^3\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)$

Ta sẽ chứng minh $P$ chia hết cho 5 và cho 6.

a) CM $5|P$. Kí hiệu $\left(a;b\right)$ là cặp số dư lần lượt của a và b khi chia cho 5.

Nếu a hoặc b chia hết cho 5 thì xong. Còn nếu $a\equiv b\left(mod5\right)$ cũng coi như hoàn tất. $a+b\equiv0\left(mod5\right)$ cũng như thế.

Do đó ta loại đi được các trường hợp $\left(0;0\right),\left(1;1\right),\left(2;2\right),\left(3;3\right),\left(4;4\right)$ và $\left(1;4\right),\left(2;3\right),\left(3;2\right),\left(4;1\right)$ và $\left(0;1\right),\left(0;2\right),\left(0;3\right),\left(0;4\right),\left(1;0\right),\left(2;0\right),\left(3;0\right),\left(4;0\right)$

Ta chỉ còn lại 8 trường hợp là $\left(1;2\right),\left(1;3\right),\left(2;4\right),\left(3;4\right)$ và các hoán vị. Nếu $\left(a;b\right)\equiv\left(1;2\right)\left(mod5\right)$ thì $a^2+b^2=\left(5k+1\right)^2+\left(5l+2\right)^2=25k^2+10k+1+25l^2+20l+4=5P+5⋮5$

Các trường hợp còn lại xét tương tự $\Rightarrow5|P$.

b) CM $6|P$. Ta thấy $a^3b^3\left(a-b\right)\left(a+b\right)$ luôn là số chẵn (nếu $a\equiv b\left(mod2\right)$ thì $2|a-b$, còn nếu $a\ne b\left(mod2\right)$ thì $2|a^3b^3$.

Đồng thời, cũng dễ thấy $3|P$ vì nếu $a$ hay $b$ chia hết cho 3 thì coi như xong. Nếu $a\equiv b\left(mod3\right)$ cũng xong. Còn nếu $a+b\equiv0\left(mod3\right)$ thì cũng hoàn tất.

Suy ra $6|P$

Từ đó suy ra $30|P$

Phương Hồng Hạnh · Answer

P=a7b3−a3b7

�=�3�3(�4−�4)P=a3b3(a4−b4)

�=�3�3(�−�)(�+�)(�2+�2)P=a3b3(a−b)(a+b)(a2+b2)

Ta sẽ chứng minh �P chia hết cho 5 và cho 6.

a) CM 5∣�5∣P. Kí hiệu (�;�)(a;b) là cặp số dư lần lượt của a và b khi chia cho 5.

Nếu a hoặc b chia hết cho 5 thì xong. Còn nếu �≡�(��5)a≡b(mod5) cũng coi như hoàn tất. �+�≡0(��5)a+b≡0(mod5) cũng như thế.

Do đó ta loại đi được các trường hợp (0;0),(1;1),(2;2),(3;3),(4;4)(0;0),(1;1),(2;2),(3;3),(4;4) và (1;4),(2;3),(3;2),(4;1)(1;4),(2;3),(3;2),(4;1) và (0;1),(0;2),(0;3),(0;4),(1;0),(2;0),(3;0),(4;0)(0;1),(0;2),(0;3),(0;4),(1;0),(2;0),(3;0),(4;0)

Ta chỉ còn lại 8 trường hợp là (1;2),(1;3),(2;4),(3;4)(1;2),(1;3),(2;4),(3;4) và các hoán vị. Nếu (�;�)≡(1;2)(��5)(a;b)≡(1;2)(mod5) thì �2+�2=(5�+1)2+(5�+2)2=25�2+10�+1+25�2+20�+4=5�+5⋮5a2+b2=(5k+1)2+(5l+2)2=25k2+10k+1+25l2+20l+4=5P+5⋮5

Các trường hợp còn lại xét tương tự ⇒5∣�⇒5∣P.

b) CM 6∣�6∣P. Ta thấy �3�3(�−�)(�+�)a3b3(a−b)(a+b) luôn là số chẵn (nếu �≡�(��2)a≡b(mod2) thì 2∣�−�2∣a−b, còn nếu �≠�(��2)a=b(mod2) thì 2∣�3�32∣a3b3.

Đồng thời, cũng dễ thấy 3∣�3∣P vì nếu �a hay �b chia hết cho 3 thì coi như xong. Nếu �≡�(��3)a≡b(mod3) cũng xong. Còn nếu �+�≡0(��3)a+b≡0(mod3) thì cũng hoàn tất.

Suy ra 6∣�6∣P

Từ đó suy ra 30∣�30∣P