Question

[Đào Trí Bình]

15. Cho 7 đường thẳng trong đó ko có 2 đường thẳng nào song song. CMR tồn tại 2 đường thẳng tạo với nhau 1 góc nhỏ hơn 26^o.

Gíup mình với cảm ơn các bạn nhiều!!!

Answer 1

[Cù Minh Vũ]

Khi 7 đường thẳng cắt nhau chung tại 1 điểm thì sẽ tạo thành 14 góc
Giả sử 14 góc này bằng nhau thì giá trị mỗi góc là 360 : 14 = 25,7 độ
Như thế nếu các góc không bằng nhau thì sẽ có góc lớn hơn 25,7 và nhỏ hơn 25,7
Vậy Tồn tại ít nhất 2 đường thẳng tạo thành 1 góc nhỏ hơn 26 độ

Answer 2

[Lê Song Phương]

 Gọi 7 đường thẳng đó là d₁, d₂,..., d₇. Giả sử O là giao điểm của d₁ và d₂. Ta xét trường hợp đơn giản là 7 đường thẳng đã cho đồng quy. Khi đó không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng đường thẳng d_i luôn nằm giữa 2 đường d_i-1 và d_i+1. Khi đó trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d₁, ta có \(P=\widehat{d_1Od_2}+\widehat{d_2Od_3}+...+\widehat{d_7Od_1}=180^o\). Nếu ta giả sử tất cả các góc giữa 2 đường thẳng đều lớn hơn hoặc bằng 26^o thì \(P\ge182^o\), mâu thuẫn. Vậy phải có 2 đường thẳng tạo với nhau 1 góc nhỏ hơn 26^o.

 Ta xét trường hợp tổng quát là 7 đường thẳng đã cho không nhất thiết đồng quy. Khi đó giả sử d₃ không đi qua O là giao điểm của d₁, d₂ thì qua O kẻ đường thẳng d₃'//d₃. Theo tính chất của 2 đường thẳng song song thì góc giữa d₃' và các d_i khác đều được bảo toàn. Làm tương tự với các đường d₄, d₅, d₆ và d₇ rồi xét tương tự trường hợp đầu tiên là xong. 

 Tóm lại, phải có 2 đường nào đó tạo với nhau 1 góc nhỏ hơn 26^o.