Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C D H E M N
a) Gọi M,N lần lượt là giao điểm của AD với BC và BE với AC
Các \(\hept{\begin{cases}\widehat{ANB}\\\widehat{AMB}\end{cases}}\)là 2 góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn nên ta có:
\(\widehat{ANB}=\frac{1}{2}\)(sđ \(\widebat{EC}\)+ sđ \(\widebat{AB}\)) =90o (vì BE_|_ AC)
\(\widehat{AMB}=\frac{1}{2}\)(sđ \(\widebat{DC}\)+ sđ \(\widebat{AB}\))=90o (vì AD _|_ BC)
Vậy ta có: \(sđ\widebat{CE=sđ\widebat{CD}}\)\(\Leftrightarrow CD=CE\left(đpcm\right)\)
Nguồn: loigiaihay.com
A B C O D I H E F K G T G 0 L
a) Ta thấy: \(\Delta\)ABC nhận H làm trực tâm nên ^BHC + ^BAC = 1800 (1)
Ta có: ^FKE = ^BKC = 1800 - ^KBC - ^KCB = 1800 - ^EAD - ^FAD = 1800 - ^EAF => ^BKC + ^BAC = 1800 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ^BHC = ^BKC => Tứ giác BHKC nội tiếp => ^KHC = ^KBC = ^CAD
Mà AD đi qua tâm ngoại tiếp (O) của \(\Delta\)ABC, AH vuông góc BC nên dễ thấy ^CAD = ^BAH
Từ đó: ^KHC = ^BAH = ^BCH => HK // BC (2 góc so le trong bằng nhau) (đpcm).
b) Qua B kẻ đường thẳng song song với CK cắt (O) tại điểm thứ hai G.
Xét (O): ^BGC + ^BAC = 1800. Mà ^BKC + ^BAC =1800 (cmt) nên ^BGC = ^BKC
=> ^KBC = ^GCB => BK // CG => Tứ giác BKCG là hình bình hành => S = SBGC
Hạ GT vuông góc BC thì S = SBGC = GT.BC/2 < G0L.BC/2 (Với G0 là điểm chính giữa cung BC không chứa A)
Lại có: ^LBG0 = 1/2.Sđ(BC = ^BAC/2 => G0L = BL.tan^BAC/2 hay G0L = BC/2 . tan^BAC/2
Suy ra: S < BC/2 . tan^BAC/2 . BC/2 = (BC/2)2.tan^BAC/2 (đpcm).
c) +) Chứng minh BF.BA - CE.CA = BD2 - CD2 ?
Theo tính chất góc nội tiếp: ^KED = ^BED = ^BAD = ^DAF = ^DCF = ^DCK => Tứ giác DKEC nội tiếp
Tương tự: Tứ giác DKFB nội tiếp. Áp dụng phương tích đường tròn:
BF.BA - CE.CA = BD.BC - CD.CB = BC(BD-CD) = (BD+CD)(BD-CD) = BD2 - CD2 (đpcm).
+) Chứng minh: DI vuông góc với BC ?
Từ câu a ta có: ^EKF + ^EAF = 1800 => Tú giác AEKF nội tiếp => K nằm trên (AEF)
Nối I với E và F thì có: ^IFK + ^IEK = ^IKF + ^IKE = ^EKF = ^BKC
=> ^IFK + ^IEK + ^KBC + ^KCB = ^IFK + ^IEK + ^KFD + ^KED = ^IFD + ^IED = 1800 (Do DKEC;DKFB nội tiếp)
Suy ra: Tứ giác DEIF nội tiếp => ^IDF = ^IEF = ^IFE = ^IDE. Kết hợp với ^BDF = ^CDE (=^BAC)
Dẫn đến ^IDF + ^BDF = ^IDE + ^CDE => ^IDB = ^IDC => ID vuông góc BC (2 góc kề bù bằng nhau) (đpcm).
a, HCDB là hbh (gt)
-> CH // BD; HB // CD
Vì H là trực tâm của Δ ABC (gt)
-> CH vuông với AB ; BH vuông với AC ; AH vuông với BC
-> AB vuông BD ; AC vuông CD
-> ^ABD=90*, ^ ACD=90*
Xét tứ giác ABCD có: ^ABD + ^ ACD = 180*
-> tứ giác ABCD nội tiếp
-> A, B, C, D cùng thuộc 1 đường tròn (1)
DE // BC (gt)
->AH vuông DE ( vì AH vuông BC )
-> ^AED = 90*
Xét tứ giác ABED có ^AED=^ABD=90*
-> B và E cùng nhìn AD dưới 1 góc 90*
-> ABED nội tiếp
-> A,B,E,D cùng thuộc 1 đường tròn (2)
Từ (1) và (2) -> A,B,C,D,E cùng thuộc một đường tròn
Câu a mình làm xuống dưới nha =)))
b. Ta có, 2xgóc BCE + 2x góc BCF = 180° ( gt theo tia phân giác )
=> 2.(góc BCE + góc BCF ) = 180°
<=> góc ECF = 180°/ 2 = 90°
Chứng minh tương tự, có góc EBF = 90°
( từ hai điều trên ) suy ra góc ECF + góc EBF = 180°
=> tức giác BECF nội tiếp đường tròn có tâm là trung điểm của EF.
c, tức giác BECF nội tiếp => góc EBI = góc CIF
góc EIB = góc CIF ( đối đỉnh )
==> tam giác IEB đồng dạng với tam giác ICF
=> BI / IE = IF / IC
<=> BI.IC= IF.IE
a, trong tam giác ABC
có góc xBC = góc BAC + góc ACB ( góc ngoài tam giác )
=> 1/2 góc xBC = 1/2 góc BAC + 1/2 góc ACB
<=> FBI = góc EAC + góc ECA
mà EAC + ECA + AEC = 180°
==> góc FBI + góc AEC = 180° *
mà góc FBI = góc FEC ( tức giác BEFC nội tiếp ) **
Từ (*) và (**) suy ra FEC + AEC = 180°
=> E, F, A thẳng hàng.
A, xin lỗi, cái chỗ câu c nè
tức giác BECF nội tiếp suy ra góc EBI = góc CFI mới đúng nhé
xin lỗi, mình viết nhầm chỗ đó :(((
Chứng minh chiều thuận:
Giả sử có tam giác ABC cân tại A, đương nhiên trung tuyến và phân giác kẻ từ A của tam giác này trùng nhau. Mà trọng tâm D thuộc trung tuyến kẻ từ A, giao điểm các đường phân giác trong E thuộc phân giác trong kẻ từ A nên AD, AE trùng nhau, do đó A, D, E thẳng hàng.
Chứng minh chiều đảo:
Giả sử A, D, E thẳng hàng. Dễ thấy rằng khi đó AD, AE lần lượt là trung tuyến và phân giác trong của tam giác ABC. Mà A, D, E thẳng hàng \(\Rightarrow AD\equiv AE\), do đó tam giác ABC cân tại A (Dấu hiệu nhận biết)
À không, xin lỗi bạn, bài đó mình làm lộn đề đó. Bài này mới đúng nhé:
thuận: (giả sử tam giác ABC cân tại A):
Khi đó \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\). Mà BD, CD là 2 trung tuyến kẻ từ B, C nên \(BD=CD\) \(\Rightarrow\widehat{DBC}=\widehat{DCB}\). Từ đó dễ thấy \(\widehat{DBA}=\widehat{DCA}\), mà BE, CE là các phân giác của \(\widehat{DBA},\widehat{DCA}\) nên \(\widehat{DBE}=\widehat{DCE}\). Từ đây dễ thấy \(\widehat{EBC}=\widehat{ECB}\) \(\Rightarrow EB=EC\). Do đó, E nằm trên đường trung trực của đoạn BC.
Mà AD chính là trung trực của BC (Do tam giác ABC cân tại A có AD là trung tuyến) \(\Rightarrow E\in AD\Rightarrowđpcm\)
đảo: (giả sử A,D,E thẳng hàng)
Ta thấy AD chính là trung trực của đoạn BC, mà A,D,E thẳng hàng nên E thuộc trung trực của BC \(\Rightarrow EB=EC\Rightarrow\widehat{EBC}=\widehat{ECB}\)
Đồng thời \(\widehat{DBC}=\widehat{DCB}\) , từ đó \(\Rightarrow\widehat{DBE}=\widehat{DCE}\)
Mà BE, CE lần lượt là phân giác của \(\widehat{DBA},\widehat{DCA}\) nên \(\widehat{DBA}=\widehat{DCA}\). Bằng phép cộng góc, ta dễ dàng suy ra \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) \(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A.