Question

[Nguyễn Ngọc Gia Hân]

Cho : n \(\in\) N . Chứng minh : n² . ( n² -1 ) \(⋮\) 12 ?

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Đặt \(A=n^2\left(n^2-1\right)\)

Trường hợp 1: n=2k

\(A=\left(2k\right)^2\left(4k^2-1\right)\)

\(=2k\cdot\left(2k+1\right)\left(2k-1\right)\cdot2k\)

Vì 2k;2k+1;2k-1 là ba số tự nhiên liên tiếp

nên \(2k\left(2k+1\right)\left(2k-1\right)⋮3!=6\)

hay \(A⋮12\left(1\right)\)

Trường hợp 2: n=2k+1

\(A=\left(2k+1\right)^2\cdot\left[\left(2k+1\right)^2-1\right]\)

\(=\left(2k+1\right)\left(2k\right)\cdot\left(2k+2\right)\cdot\left(2k+1\right)\)

Vì 2k+1;2k;2k+2 là ba số tự nhiên liên tiếp 

nên \(2k\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)⋮6\)

\(\Leftrightarrow A⋮12\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(A⋮12\)