TH1: M nằm giữa A và B

  

kẻ MQ_|_ DC tại Q

FN_|_DC tại N

EH_|_DC tại H

ta có E là trung điểm của BD; F là trung điểm của AC

=> EF là đuờng trung bình ứng với cạnh DC

=> EF//DC

ta có MQ_|_DC tại Q mà EF//DC

=> MQ_|_EF tại R

ta có: EH_|_DC

FN_|_DC 

MQ_|_DC

MK_|_DC

=> EH//FN//MQ//MK

ta có góc MFE= góc FKD(MK chung và EF//NK)

 xét 2 tam giác vuông MFR và FKN có:

FM=FK(gt)

 góc MFE= góc FKD(cmt)

=> tam giác FMR=tam giác FKN(CH-GN)

=> RF=NK(1)

ta có góc MEF=góc EHC( do MH chung và EF//DC)

xét 2 tam giác vuông MER và EHP có:

góc MEF= góc EHC(cmt)

ME=EH(gt)

=> tam giác MER= tamgiác EHP(CH-GN)

=> ER=HP(2)

ta có: EF//PN

EH//FN

=> EF=HN(3)

từ (1)(2)(3) =>

EF=HN

RF=NK

ER=HP

ta có : HK=HP+PN+NK=ER+RF+EF=EF+EF

=>HK=2EF

 TH2:M trùng A=> AC trùng MK=> C trùng K

M trùng A nên ME cũng trùng MH

kẻ FP//EH ( P thuộc DC)

xét tam giác EAB và tam giác EHD có':

góc AEB= góc DEH(2 góc đối đỉnh)

ED=EB(gt)

góc  BAE= góc EHD( AB//CD)

=> tam giác EAB= tam giác EHD(g.c.g)

=> AE=EH=1/2AH

ta có: E là trung điểm của AH; F là trung điểm của AC

=> EF là đường trung bình của tam giác AHC

=> EF//DC

EH//FP

=>tứ giác EFPH là hình bình hành

=> EH=FP

xét tam giác AEF và tam giác FCPcó:

AF=FC(gt)

góc AFE= góc FCP(EF//DC)

EH=FP(cmt)

=> tam giác AEF= tam giác FCP(c.g.c)

=>EF=PC

mà EF=HP( do tứ giác EFPH là hình bình hành)

=> EF=HP=PK

ta có: HK=HP+PK=EF+EF=2EF

TH3:M trùng B=>BD trùng MH và BF trùng MK

kẻ EP // FK

xét tam giác FBA và tam giác FKC có:

FA=FC(gt)

góc AFB= góc KFC( 2 góc đối đỉnh)

góc BAF= góc KCF( AB//CD)

=> tam giác FBA= tam giác FKC(g.c.g)

=> FB=FK

ta có E là trung điểm của BD ; F là trung điểm của BK

=> EF là đường trung bình của tam giác BDK

=> EF//PK

mà EP//FK

=> EF=PK và EP=FK

ta có: EF//DP

BF//EP

=> góc EBF= góc DEP

xét tam giác BEF và tam giác EDP có:

ED=EB(gt)

góc BEF= góc EDP(EF//DC)

góc DEP= góc EBF(cmt)

=> tam giác BEF= tam giác EDP(g.c.g)

=> DP=EF và bằng PK

ta có: HK=(hay DP)HP+PK=EF+EF

=> HK=2EF

từ 3 trường hợp nêu trên =>  nếu M nằm giữa AB, M trùng A hoặc M trùng B thì độ dài của HK vẫn không đổi và luôn bằng 2EF

vậy độ dài của HK không đổi và luôn bằng 2EF khi M di động trên AB

vì HK luôn bằng 2EF nên độ dài k đổi khi M di động trên AB

\(a^7-a=a\left(a^6-1\right)=a\left(a^3+1\right)\left(a^3-1\right)\) 

Rồi sao nữa ?

Với a, b  thuộc Z và không chia hết cho 7

Theo định lí fecmat:  \(a^6\equiv1\left(mod7\right)\); \(b^6\equiv1\left(mod7\right)\)(1)

Đặt: \(a^6=u;b^6=v\)

Ta có: \(a^{42}-b^{42}=u^7-v^7=\left(u-v\right)\left(u^6+u^5v+u^4v^2+u^3v^3+u^2v^4+uv^5+v^6\right)\)

Từ (1) => \(u-v\equiv1-1\equiv0\left(mod7\right)\)=> \(u-v⋮7\)

và  \(u^6;u^5v;u^4v^2;u^3v^3;u^2v^4;uv^5;v^6\equiv1\left(mod7\right)\) 

\(\Rightarrow u^6+u^5v+u^4v^2+u^3v^3+u^2v^4+uv^5+v^6\equiv1+1+1+1+1+1+1\equiv7\equiv0\left(mod7\right)\)

=> \(u^6+u^5v+u^4v^2+u^3v^3+u^2v^4+uv^5+v^6⋮7\)

=> \(\left(u-v\right)\left(u^6+u^5v+u^4v^2+u^3v^3+u^2v^4+uv^5+v^6\right)⋮49\)

Vi tu giac ABCD co ^A = ^C = 90^o => ^B + ^D = 180^o

Kẻ phân giác DF , BE

Xét \(\Delta BEC\)vuông tại C nên \(\widehat{CBE}+\widehat{CEB}=90^o\)

\(\Rightarrow2\left(\widehat{CBE}+\widehat{CEB}\right)=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{CBA}+2\widehat{CEB}=180^o\)

Tuong tu \(\widehat{CDA}+2\widehat{AFD}=180^o\)

\(\Rightarrow\left(\widehat{CBA}+\widehat{CDA}\right)+2\left(\widehat{CEB}+\widehat{AFD}\right)=360^o\)

\(\Leftrightarrow180^o+2\left(\widehat{CEB}+\widehat{AFD}\right)=360^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{CEB}+\widehat{AFD}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{CBE}=\widehat{AFD}\)(Cùng phụ \(\widehat{CEB}\))

\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{AFD}\)(Phan giac)

\(\Rightarrow FD//\left(h\right)\equiv BE\left(dpcm\right)\)

Cảm ơn bạn Dương đã giúp mình làm nha!

Xét tứ giác AOBC₁ có: hai đường chéo AB và OC₁ cắt nhau tại trung điểm P mỗi đường  chéo

=>AOBC₁  là hình bình hành

=>  AC₁//=OB  (1)

Xét tứ giác OBA₁C có hai đường chéo OA₁và BC cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường chéo.

=>  OBA₁C là hình bình hành

=> OB//=A₁C (2)

Từ (1), (2) => AC₁//=A₁C

=> AC₁A₁C là hình bình hành.

=> AA₁ và CC₁ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo

Chứng minh tương tự:

BC₁//=AO//=B₁C

=> BC₁B₁C là hình bình hành

=> BB1 và CC1 cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo

=> AA1; BB1; CC1 đồng quy.

\(x^3+3xy+y^3-1=\left(x^3+y^3\right)+\left(x^2+2xy+y^2-1\right)-\left(x^2-xy+y^2\right)\)

\(=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+\left(x+y-1\right)\left(x+y+1\right)-\left(x^2-xy+y^2\right)\)

\(=\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x+y-1\right)+\left(x+y-1\right)\left(x+y+1\right)\)

\(=\left(x+y-1\right)\left(x^2-xy+y^2+x+y+1\right)\)

\(x^3+3xy+y^3-1\)

\(=\left(x+y\right)^3-1-3x^2y-3xy^2+3xy\)

\(=\left(x+y-1\right)\left[\left(x+y\right)^2+x+y+1\right]-3xy\left(x+y-1\right)\)

\(=\left(x+y-1\right)\left(x^2+y^2+2xy+x+y+1-3xy\right)\)

\(=\left(x+y-1\right)\left(x^2+y^2-xy+x+y+1\right)\)

Ta có 1+c²=ab+bc+ca+c²=(a+c)(b+c)

Tương tự 1+a²=(a+b)(a+c)

                 1+b²=(a+b)(b+c)

Suy ra \(\frac{a-b}{1+c^2}=\frac{a-b}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}=\frac{1}{c+b}-\frac{1}{c+a}\)

            \(\frac{b-c}{1+a^2}=\frac{b-c}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}=\frac{1}{a+c}-\frac{1}{a+b}\)

              \(\frac{c-a}{1+b^2}=\frac{c-a}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}=\frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a-b}{1+c^2}+\frac{b-c}{1+a^2}+\frac{c-a}{1+b^2}=\frac{1}{c+b}-\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+c}-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c}=0\)

\(\frac{2a^2-2ac+c^2}{2b^2-2bc+c^2}=\frac{a-c}{b-c}\)

\(\Leftrightarrow2a^2b-2a^2c+ac^2-bc^2-2ab^2+2b^2c=0\)

\(\Leftrightarrow2a\left(ab-ac+\frac{c^2}{2}\right)-bc^2-2ab^2+2bc^2=b\left(2ac-c^2-2ab+2bc\right)=0\)(đúng)

=> đpcm

Từ \(c^2+2\left(ab-bc-ac\right)=0.\)

\(\Rightarrow c^2+2ab-2bc-2ac=0\)

\(\Rightarrow\frac{c^2}{2}+ab-bc-ac=0\)

\(\Rightarrow bc=\frac{c^2}{2}+ab-ac\)

Có : \(2a\left(ab-ac+\frac{c^2}{2}\right)-bc^2-2ab^2+2bc^2\)

\(=2abc-bc^2-2ab^2+2bc^2\)

\(=-b\left(-2ac+c^2+2ab-2bc\right)\)

\(=-b\left[c^2+2\left(ab-bc-ac\right)\right]=-b.0=0\)\(\left(đpcm\right)\)

\(\frac{ay-bx}{c}=\frac{cx-az}{b}=\frac{bz-cy}{a}\)

\(\Rightarrow\frac{acy-bcx}{c^2}=\frac{bcx-abz}{b^2}=\frac{abz-acy}{a^2}=\frac{0}{a^2+b^2+c^2}=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ay-bx=0\\cx-az=0\\bz-cy=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(ay-bx\right)^2+\left(cx-az\right)^2+\left(bz-ay\right)^2=0\)

\(\Rightarrow a^2y^2-2axby+b^2x^2+a^2z^2-2axcz+c^2x^2+b^2z^2-2bycz\)

\(+c^2y^2=0\)

\(\Rightarrow a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2\)

\(=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2axby+2bycz+2axcz\)

\(\Rightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)

:]] đề sai rồi:

\(a^3+3a=b^3+3b\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3-b^3\right)+\left(3a-3b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right).\left(a^2+ab+b^2+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a-b=0\\\left(a^2+ab+\frac{b^2}{4}\right)+\frac{3}{4}b^2+3=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=b\\\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3}{4}b^2=-3\left(\text{loại vì }VP\ge0,\text{VT}< 0\right)\end{cases}}}\)

Nếu a+b=-3 (như trên), mà a=b => a=b=-3/2. Thao -3/2 vào a³+3a khác 2 :))) 

Đề ko sai đâu Boul