Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+3\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{abc}=2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc}\right)\)
Đặt \(\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow xyz=1\)
BĐT trở thành: \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số x;y;z luôn có ít nhất 2 số cùng phía so với 1
Không mất tính tổng quát, giả sử đó là x và y \(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow xy+1\ge x+y\Rightarrow xyz+z\ge xz+yz\Rightarrow2xyz+2z\ge2xz+2yz\)
\(\Rightarrow2\ge2xz+2yz-2z\) (do \(xyz=1\))
\(\Rightarrow VP=x^2+y^2+z^2+2+1\ge x^2+y^2+z^2+2xz+2yz-2z+1\)
\(VP\ge2xy+z^2+2xz+2yz-2z+1=2\left(xy+yz+zx\right)+\left(z-1\right)^2\ge2\left(xy+yz+zx\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)
Bài 1. Ta có: \(a\left(a+2\right)\left(a-1\right)^2\ge0\therefore\frac{1}{4a^2-2a+1}\ge\frac{1}{a^4+a^2+1}\)
Thiết lập tương tự 2 BĐT còn lại và cộng theo vế rồi dùng Vasc (https://olm.vn/hoi-dap/detail/255345443802.html)
Bài 5: Bất đẳng thức này đúng với mọi a, b, c là các số thực. Chứng minh:
Quy đồng và chú ý các mẫu thức đều không âm, ta cần chứng minh:
\(\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\Sigma\left[\left(a^2+b^2\right)+2c^2\right]\left(a-b\right)^2\ge0\)
Đây là điều hiển nhiên.
\(sigma\frac{a}{1+b-a}=sigma\frac{a^2}{a+ab-a^2}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{b^2+c^2}=\frac{1}{1-a^2}=1+\frac{a^2}{b^2+c^2}\le1+\frac{a^2}{2bc}\)
Tương tự cộng lại quy đồng ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)