NT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 12 2018
Câu a: Tích phân không thể tính được
Câu b:
Đặt \(\sqrt{x}=t\). Khi đó:
\(\int ^{\pi ^2}_{0}x\sin \sqrt{x}dx=\int ^{\pi}_{0}t^2\sin td(t^2)\) \(=2\int ^{\pi}_{0}t^3\sin tdt\)
Tính \(\int t^3\sin tdt\) bằng nguyên hàm từng phần:
\(\Rightarrow \int t^3\sin tdt=\int t^3d(-\cos t)=-t^3\cos t+\int \cos t d(t^3)\)
\(=-t^3\cos t+3\int t^2\cos tdt\)
\(=-t^3\cos t+3\int t^2d(\sin t)=-t^3\cos t+3(t^2\sin t-\int \sin td(t^2))\)
\(=-t^3\cos t+3(t^2\sin t-2\int t\sin tdt)\)
\(=-t^3\cos t+3(t^2\sin t-2\int td(-cos t))\)
\(=-t^3\cos t+3[t^2\sin t-2(-t\cos t+\int \cos tdt)]\)
\(=-t^3\cos t+3t^2\sin t+6t\cos t-6\sin t+c\)
\(\Rightarrow 2\int ^{\pi}_{0}t^3\sin tdt=2(-t^3\cos t+3t^2\sin t+6t\cos t-6\sin t+c)\left|\begin{matrix} \pi\\ 0\end{matrix}\right.\)
\(=2\pi ^3-12\pi \)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 12 2018
Lời giải:
Đặt \(2x+1=t\Rightarrow x=\frac{t-1}{2}\)
Khi đó:
\(\int ^{\frac{1}{9}}_{0}\frac{x}{\sin ^2(2x+1)}dx=\frac{1}{2}\int ^{\frac{11}{9}}_{0}\frac{t-1}{\sin ^2t}d(\frac{t-1}{2})=\frac{1}{4}\int ^{\frac{11}{9}}_{1}\frac{t-1}{\sin ^2t}dt\)
Xét \(\int \frac{t-1}{\sin ^2t}dt=\int \frac{t}{\sin ^2t}dt-\int \frac{dt}{\sin ^2t}=\int td(-\cot t)-(-\cot t)+c\)
\(=(-t\cot t+\int \cot tdt)+\cot t+c\)
\(=-t\cot t+\int \frac{\cos t}{\sin t}dt+\cot t+c\)
\(=-t\cot t+\int \frac{d(\sin t)}{\sin t}+\cot t+c\)
\(=-t\cot t+\ln |\sin t|+\cot t+c\)
\(\Rightarrow \frac{1}{4}\int ^{\frac{11}{9}}_{1}\frac{t-1}{\sin ^2t}dt=\frac{1}{4}(-t\cot t+\ln |\sin t|+\cot t+c)\left|\begin{matrix} \frac{11}{9}\\ 1\end{matrix}\right.\)
\(\approx 0,007\)
MN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
3 tháng 12 2017
Lời giải:
Xét \(\int \frac{\tan ^2x-\cos ^2x}{\sin ^2x}dx=\int \frac{\tan ^2x}{\sin ^2x}dx-\int \frac{\cos ^2x}{\sin ^2x}dx\)
Có:
\(\int \frac{\tan ^2x}{\sin ^2x}dx=\int \frac{\sin ^2x}{\cos ^2x. \sin^2 x}dx=\int \frac{1}{\cos ^2x}dx\)
\(=\int d(\tan x)=\tan x+c\)
Và:
\(\int \frac{\cos ^2x}{\sin ^2x}dx=\int \frac{1-\sin ^2x}{\sin ^2x}dx=\int \frac{1}{\sin ^2x}dx-\int dx\)
\(=-\int d(\cot x)-x+c=-\cot x-x+c\)
Do đó:
\(\int \frac{\tan ^2x-\cos ^2x}{\sin ^2x}dx=\tan x+c-(-\cot x-x+c)=\tan x+\cot x+x+c\)
\(\Rightarrow \int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{6}}\frac{\tan ^2x-\cos ^2x}{\sin ^2x}dx=\frac{4\sqrt{3}}{3}+\frac{\pi}{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
11 tháng 1 2018
Ở tất cả các dạng bài như thế này em chỉ cần ghi nhớ công thức:
\(d(u(x))=u'(x)dx\)
Câu 1)
Ta có \(I_1=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} e^{\sin x}\cos xdx=\int _{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}e^{\sin x}d(\sin x)\)
Đặt \(\sin x=t\Rightarrow I_1=\int ^{1}_{\frac{\sqrt{2}}{2}}e^tdt=\left.\begin{matrix} 1\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right|e^t=e-e^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
Câu 2)
\(I_2=\int ^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}e^{2\cos x+1}\sin xdx=\frac{-1}{2}\int ^\frac{\pi}{2}_{\frac{\pi}{4}}e^{2\cos x+1}d(2\cos x+1)\)
Đặt \(2\cos x+1=t\Rightarrow I_2=\frac{-1}{2}\int ^{1}_{1+\sqrt{2}}e^tdt\)
\(=\frac{-1}{2}.\left.\begin{matrix} 1\\ 1+\sqrt{2}\end{matrix}\right|e^t=\frac{-1}{2}(e-e^{1+\sqrt{2}})\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
11 tháng 1 2018
Câu 3:
Có \(I_3=\int ^{e}_{1}\frac{e^{2\ln x+1}}{x}dx=\int ^{e}_{1}e^{2\ln x+1}d(\ln x)\)
\(=\frac{1}{2}\int ^{e}_{1}e^{2\ln x+1}d(2\ln x+1)\)
Đặt \(2\ln x+1=t\Rightarrow I_3=\frac{1}{2}\int ^{3}_{1}e^tdt=\frac{1}{2}.\left.\begin{matrix} 3\\ 1\end{matrix}\right|e^t=\frac{1}{2}(e^3-e)\)
Câu 4:
\(I_4=\int ^{1}_{0}xe^{x^2+2}dx=\frac{1}{2}\int ^{1}_{0}e^{x^2+2}d(x^2+2)\)
Đặt \(x^2+2=t\Rightarrow I_4=\frac{1}{2}\int ^{3}_{2}e^tdt=\frac{1}{2}.\left.\begin{matrix} 3\\ 2\end{matrix}\right|e^t=\frac{1}{2}(e^3-e^2)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 12 2017
1)
Ta có:
\(\int (2-\cot ^2x)dx=\int (2-\frac{\cos ^2x}{\sin ^2x})dx\)
\(=\int (2-\frac{1-\sin ^2x}{\sin ^2x})dx=\int (3-\frac{1}{\sin ^2x})dx=3\int dx-\int \frac{dx}{\sin ^2x}\)
\(=3x+\int d(\cot x)=3x+\cot x+c\)
\(\Rightarrow \int ^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{3}}(2-\cot ^2x)dx=\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ \frac{\pi}{3}\end{matrix}\right|(3x+\cot x+c)=\frac{\pi}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}\)
3)
Xét \(\int (2\tan x-3\cot x)^2dx\)
\(=\int (4\tan ^2x+9\cot ^2x-12)dx\)
\(=\int (\frac{4\sin ^2x}{\cos ^2x}+\frac{9\cos ^2x}{\sin ^2x}-12)dx\)
\(=\int (\frac{4(1-\cos ^2x)}{\cos ^2x}+\frac{9(1-\sin ^2x)}{\sin ^2x}-12)dx\)
\(=\int (\frac{4}{\cos ^2x}+\frac{9}{\sin ^2x}-25)dx\)
\(=4\int d(\tan x)-9\int d(\cot x)-25\int dx\)
\(=4\tan x-9\cot x-25x+c\)
Do đó:
\(\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{6}}(2\tan x-3\cot x)^2dx=\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{3}\\ \frac{\pi}{6}\end{matrix}\right|(4\tan x-9\cot x-25x+c)=\frac{26\sqrt{3}}{3}-\frac{25\pi}{6}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 12 2017
2)
Xét \(\int (\tan x+\cot x)^2dx=\int (\tan ^2x+\cot ^2x+2)dx\)
\(=\int (\frac{\sin ^2x}{\cos^2 x}+\frac{\cos ^2x}{\sin ^2x}+2)dx\)
\(=\int (\frac{1-\cos ^2x}{\cos ^2x}+\frac{1-\sin ^2x}{\sin ^2x}+2)dx\)
\(=\int (\frac{1}{\cos ^2x}+\frac{1}{\sin ^2x})dx\)
\(=\int d(\tan x)-\int d(\cot x)=\tan x-\cot x+c\)
Do đó:
\(\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{6}}(\tan x+\cot x)^2dx=\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{3}\\ \frac{\pi}{6}\end{matrix}\right|(\tan x-\cot x+c)=2\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}\)
HT
17 tháng 1 2021
Nhìn đề dữ dội y hệt cr của tui z :( Để làm từ từ
Lập bảng xét dấu cho \(\left|x^2-1\right|\) trên đoạn \(\left[-2;2\right]\)
| x | -2 | -1 | 1 | 2 |
| \(x^2-1\) | 0 | 0 |
\(\left(-2;-1\right):+\)
\(\left(-1;1\right):-\)
\(\left(1;2\right):+\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^{-1}_{-2}\left|x^2-1\right|dx+\int\limits^1_{-1}\left|x^2-1\right|dx+\int\limits^2_1\left|x^2-1\right|dx\)
\(=\int\limits^{-1}_{-2}\left(x^2-1\right)dx-\int\limits^1_{-1}\left(x^2-1\right)dx+\int\limits^2_1\left(x^2-1\right)dx\)
\(=\left(\dfrac{x^3}{3}-x\right)|^{-1}_{-2}-\left(\dfrac{x^3}{3}-x\right)|^1_{-1}+\left(\dfrac{x^3}{3}-x\right)|^2_1\)
Bạn tự thay cận vô tính nhé :), hiện mình ko cầm theo máy tính
HT
17 tháng 1 2021
2/ \(I=\int\limits^e_1x^{\dfrac{1}{2}}.lnx.dx\)
\(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=x^{\dfrac{1}{2}}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x}\\v=\dfrac{2}{3}.x^{\dfrac{3}{2}}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{2}{3}.x^{\dfrac{3}{2}}.lnx|^e_1-\dfrac{2}{3}\int\limits^e_1x^{\dfrac{1}{2}}.dx\)
\(=\dfrac{2}{3}.x^{\dfrac{3}{2}}.lnx|^e_1-\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}.x^{\dfrac{3}{2}}|^e_1=...\)
NH
1
11 tháng 4 2016
\(I=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\frac{\sin x}{\cos2x+3\cos x+2}dx=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\frac{\sin x}{2\cos^2x+3\cos x+1}dx\)
Đặt \(\cos x=t\Rightarrow dt=-\sin dx\)
Với \(x=0\Rightarrow t=1\)
Với \(x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow t=0\)
\(I=\int\limits^1_0\frac{dt}{2t^2+3t+1}=\int\limits^1_0\frac{dt}{\left(2t+1\right)\left(t+1\right)}=2\int\limits^1_0\left(\frac{1}{2t+1}+\frac{1}{2t+1}\right)dt\)
\(=\left(\ln\frac{2t+1}{2t+1}\right)|^1_0=\ln\frac{3}{2}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 7 2017
a)
Ta có \(A=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\cos 2x\cos^2xdx=\frac{1}{4}\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\cos 2x(\cos 2x+1)d(2x)\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{1}{4}\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\cos x(\cos x+1)dx=\frac{1}{4}\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\cos xdx+\frac{1}{8}\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}(\cos 2x+1)dx\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{1}{4}\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}\right|\sin x+\frac{1}{16}\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}\right|\sin 2x+\frac{1}{8}\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}\right|x=\frac{1}{4}+\frac{\pi}{16}\)
b)
\(B=\int ^{1}_{\frac{1}{2}}\frac{e^x}{e^{2x}-1}dx=\frac{1}{2}\int ^{1}_{\frac{1}{2}}\left ( \frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{e^x+1} \right )d(e^x)\)
\(\Leftrightarrow B=\frac{1}{2}\left.\begin{matrix} 1\\ \frac{1}{2}\end{matrix}\right|\left | \frac{e^x-1}{e^x+1} \right |\approx 0.317\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 7 2017
c)
Có \(C=\int ^{1}_{0}\frac{(x+2)\ln(x+1)}{(x+1)^2}d(x+1)\).
Đặt \(x+1=t\)
\(\Rightarrow C=\int ^{2}_{1}\frac{(t+1)\ln t}{t^2}dt=\int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t}dt+\int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t^2}dt\)
\(=\int ^{2}_{1}\ln td(\ln t)+\int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t^2}dt=\frac{\ln ^22}{2}+\int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t^2}dt\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln t\\ dv=\frac{dt}{t^2}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{dt}{t}\\ v=\frac{-1}{t}\end{matrix}\right.\Rightarrow \int ^{2}_{1}\frac{\ln t}{t^2}dt=\left.\begin{matrix} 2\\ 1\end{matrix}\right|-\frac{\ln t+1}{t}=\frac{1}{2}-\frac{\ln 2 }{2}\)
\(\Rightarrow C=\frac{1}{2}-\frac{\ln 2}{2}+\frac{\ln ^22}{2}\)
NT
1
1 tháng 4 2016
\(\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{x}{\cos^2}dx=\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0x.d\left(\tan x\right)=x.\tan|^{\frac{\pi}{4}}_0-\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\tan xdx=\frac{\pi}{4}+\ln\left(\cos x\right)|^{\frac{\pi}{4}}=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\ln2\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 2 2017
Câu 1)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln ^2x\\ dv=\frac{1}{x^2}dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{2\ln x}{x}\\ v=\frac{-1}{x}\end{matrix}\right.\)
\(\int \left ( \frac{\ln}{x} \right )^2dx=\frac{-\ln^2x}{x}+2\int \frac{\ln x}{x^2}dx\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} t=\ln x\\ dk=\frac{1}{x^2}dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} dt=\frac{1}{x}dx\\ k=-\frac{1}{x}\end{matrix}\right.\Rightarrow \int \frac{\ln x}{x^2}dx=-\frac{\ln x}{x}+\int \frac{1}{x^2}dx=\frac{-\ln x}{x}-\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow I=\left.\begin{matrix} e\\ 1\end{matrix}\right|\left(\frac{-\ln^2 x}{x}-\frac{2\ln x}{x}-\frac{2}{x}\right)=2-\frac{5}{e}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 2 2017
Câu 2)
\(I=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{x}{1+\cos 2x}dx=\frac{1}{2}\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{x}{\cos^2x}dx\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=x\\ dv=\frac{dx}{\cos^2x}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=dx\\ v=\tan x\end{matrix}\right.\Rightarrow I=\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{4}\\ 0\end{matrix}\right|\frac{x\tan x}{2}-\frac{1}{2}\int^{\frac{\pi}{4}}_{0} \tan xdx\)
\(=\frac{\pi}{8}+\frac{1}{2}\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{d(\cos x)}{\cos x}=\frac{\pi}{8}+\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{4}\\ 0\end{matrix}\right|\frac{\ln |\cos x|}{2}=\frac{\pi}{8}+\frac{\ln\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}\)
\(I=\int\limits^{\pi}_{-\pi}\frac{3^xcos^2x}{3^x+1}dx\)
Đặt \(x=-t\Rightarrow dx=-dt\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^{-\pi}_{\pi}\frac{cos^2t}{3^t+1}\left(-dt\right)=\int\limits^{\pi}_{-\pi}\frac{cos^2t}{3^t+1}dt=\int\limits^{\pi}_{-\pi}\frac{cos^2x}{3^x+1}dx\)
\(\Rightarrow2I=I+I=\int\limits^{\pi}_{-\pi}\left(\frac{3^xcos^2x}{3^x+1}+\frac{cos^2x}{3^x+1}\right)dx=\int\limits^{\pi}_{-\pi}cos^2xdx=\pi\)
\(\Rightarrow I=\frac{\pi}{2}\)