Question

[Đào Mai Phương]

Tam giác ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Khi đó tỉ số \(\frac{R}{r}\) bằng

A. \(\frac{2+\sqrt{2}}{2}\)

B. 1+\(\sqrt{2}\)

C. \(\frac{\sqrt{2}+1}{2}\)

D. \(\frac{\sqrt{2}-1}{2}\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Gọi M là trung điểm BC, I là tâm đường tròn nội tiếp và N là hình chiếu của I lên AB

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AM=R\\AN=IN=IM=r\end{matrix}\right.\)

Áp dụng Pitago: \(AI=\sqrt{AN^2+IN^2}=r\sqrt{2}\)

Mà \(AI+IM=R\Rightarrow r\sqrt{2}+r=R\)

\(\Rightarrow r\left(\sqrt{2}+1\right)=R\Rightarrow\frac{R}{r}=1+\sqrt{2}\)