Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chứng minh \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\) rồi áp dụng với n = 1,2,....,2014
\(\frac{2014}{\sqrt{2015}}+\frac{2015}{\sqrt{2014}}=\frac{2015-1}{\sqrt{2015}}+\frac{2014+1}{\sqrt{2014}}\)
= \(\sqrt{2014}+\sqrt{2015}+\frac{1}{\sqrt{2014}}-\frac{1}{\sqrt{2015}}>\sqrt{2014}+\sqrt{2015}\)
Ta có:
\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n\left(n+1\right)}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Thế vô bài toán được
\(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2016\sqrt{2015}+2015\sqrt{2016}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2015}}-\frac{1}{\sqrt{2016}}\)
\(=1-\frac{1}{\sqrt{2016}}\)
\(VT=\frac{2015-1}{\sqrt{2015}}+\frac{2014+1}{\sqrt{2014}}=\sqrt{2015}-\frac{1}{\sqrt{2015}}+\sqrt{2014}+\frac{1}{\sqrt{2014}}\)
\(>\sqrt{2014}+\sqrt{2015}\)(do \(\frac{1}{\sqrt{2014}}-\frac{1}{\sqrt{2015}}>0\))