Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}=\frac{a^4}{ab+ac}+\frac{b^4}{ba+bc}+\frac{c^4}{ca+cb}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{1}{2}\)
Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)
Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)
Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.
Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.
Bài 3: Nó sao sao ấy ta?
\(\frac{a^4}{a\left(b+c\right)}+\frac{b^4}{b\left(a+c\right)}+\frac{c^4}{c\left(a+b\right)}\)
ap dung bdt cauchy -schwaz dang engel ta co
\(\frac{a^4}{a\left(b+c\right)}+\frac{b^4}{b\left(a+c\right)}+\frac{c^4}{c\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\)\(\)
ma \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{1}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{1}{2}\)
dau =xay ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Cần sửa đề : cho \(a\ge b\ge c>0\).
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(VT=\frac{a^4}{ab+ac}+\frac{b^4}{ab+bc}+\frac{c^4}{ca+bc}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{1}{2\cdot\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\frac{a^4}{ab+ac}+\frac{b^4}{ab+bc}+\frac{c^4}{ac+bc}\)>=\(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2\left(ab+bc+ac\right)}>=\frac{ac+bc+ac}{2\left(ab+bc+ac\right)}\)=1/2
Cm bất đằng thức phụ:
\(\frac{1}{1+a^2}\ge-\frac{1}{4}a+\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{4}a-\frac{3}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{4}{4\left(a^2+1\right)}+\frac{a\left(a^2+1\right)}{4\left(a^2+1\right)}-\frac{3\left(a^2+1\right)}{4\left(a^2+1\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{4+a^3+a-3a^2-3}{4\left(a^2+1\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3-3a^2+a+1\ge0\)(do \(4\left(a^2+1\right)>0\))
\(\left(a-1\right)\left(a^2-2a-1\right)\ge0\)(đúng do a>0)
Tương tự với các số hạng kia:
Do đó: \(VT\ge-\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)+\frac{3}{4}\cdot3=-\frac{3}{4}+\frac{9}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)
Vậy........
Bài này cô si ngược dấu là ra.
\(\frac{1}{1+a^2}=1-\frac{a^2}{1+a^2}\ge1-\frac{a^2}{2a}=1-\frac{a}{2}\)
Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế ta được:
\(VT\ge3-\frac{a+b+c}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}^{\left(đpcm\right)}\)
P/s: Cách này hình như ngắn hơn cách bạn Lê Nhật Khôi nhỉ?