Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\sqrt{x-a}\le\frac{x-a+1}{2}\Rightarrow\sqrt{x-a}+\sqrt{y-b}+\sqrt{z-c}\le\frac{x+y+z-a-b-c+3}{2}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi : x=a+1 , y=b+1 , z=c+1.
Câu 1 chuyên phan bội châu
câu c hà nội
câu g khoa học tự nhiên
câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ
câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)
Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !
Câu c quen thuộc, chém trước:
Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)
Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)
\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)
Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)
Done.
Ta có : \(\left(x+\sqrt{x^2+2017}\right)\left(-x+\sqrt{x^2+2017}\right)=2017\left(1\right)\)
\(\left(y+\sqrt{y^2+2017}\right)\left(-y+\sqrt{y^2+2017}\right)=2017\left(2\right)\)
nhân theo vế của ( 1 ) ; ( 2 ) , ta có :
\(2017\left(-x+\sqrt{x^2+2017}\right)\left(-y+\sqrt{y^2+2017}\right)=2017^2\)
\(\Rightarrow\left(-x+\sqrt{x^2+2017}\right)\left(-y+\sqrt{y^2+2017}\right)=2017\)
rồi bạn nhân ra , kết hợp với việc nhân biểu thức ở phần trên xong cộng từng vế , cuối cùng ta đc :
\(xy+\sqrt{\left(x^2+2017\right)\left(y^2+2017\right)}=2017\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x^2+2017\right)\left(y^2+2017\right)}=2017-xy\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2+2017\left(x^2+y^2\right)+2017^2=2017^2-2\cdot2017xy+x^2y^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=-2xy\Rightarrow\left(x+y\right)^2=0\Rightarrow x=-y\)
A = 2017
( phần trên mk lười nên không nhân ra, bạn giúp mk nhân ra nha :) )
2/ \(\frac{\sqrt{x-2011}-1}{x-2011}+\frac{\sqrt{y-2012}-1}{y-2012}+\frac{\sqrt{z-2013}-1}{z-2013}=\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{4\sqrt{x-2011}-4}{x-2011}+\frac{4\sqrt{y-2012}-4}{y-2012}+\frac{4\sqrt{z-2013}-4}{z-2013}=3\)
\(\Leftrightarrow\left(1-\frac{4\sqrt{x-2011}-4}{x-2011}\right)+\left(1-\frac{4\sqrt{y-2012}-4}{y-2012}\right)+\left(1-\frac{4\sqrt{z-2013}-4}{z-2013}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x-2011-4\sqrt{x-2011}+4}{x-2011}\right)+\left(\frac{y-2012-4\sqrt{y-2012}+4}{y-2012}\right)+\left(\frac{z-2013-4\sqrt{z-2013}+4}{z-2013}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{x-2011}-2\right)^2}{x-2011}+\frac{\left(\sqrt{y-2012}-2\right)^2}{y-2012}+\frac{\left(\sqrt{z-2013}-2\right)^2}{z-2013}=0\)
Dấu = xảy ra khi \(\sqrt{x-2011}=2;\sqrt{y-2012}=2;\sqrt{z-2013}=2\)
\(\Leftrightarrow x=2015;y=2016;z=2017\)
Điều kiện: x \(\ge\) a ; y \(\ge\)b ; z \(\ge\) c và x + y + z \(\ge\) 0
PT <=> \(2\sqrt{x-a}+2\sqrt{y-b}+2\sqrt{z-c}=x +y+z\)
<=> \(x-2\sqrt{x-a}+y-2\sqrt{y-b}+z-2\sqrt{z-c}=0\)
<=> \(\left(x-a-2\sqrt{x-a}+1\right)+\left(y-b-2\sqrt{y-b}+1\right)+\left(z-c-2\sqrt{z-c}+1\right)=0\) (Vì a+ b +c = 3)
<=> \(\left(\sqrt{x-a}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-b}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-c}-1\right)^2=0\)
<=> \(\left(\sqrt{x-a}-1\right)^2=\left(\sqrt{y-b}-1\right)^2=\left(\sqrt{z-c}-1\right)^2=0\)
<=> \(\sqrt{x-a}-1=\sqrt{y-b}-1=\sqrt{z-c}-1=0\)
<=> x - a = 1 ; y - b = 1 ; z - c = 1
<=> x = a+ 1; y = b + 1; z = c+ 1 (Thỏa mãn ĐK)
Vậy....
\(pt\Leftrightarrow\left(x-a-2\sqrt{x-a}+1\right)+\left(y-b-2\sqrt{y-b}+1\right)+\left(z-c-\sqrt{z-c}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-a}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-b}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-c}-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-a}-1=0\\\sqrt{y-b}-1=0\\\sqrt{z-c}-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=a+1\\y=b+1\\z=c+1\end{cases}}\)
Theo BĐT Am-GM ta có:
\(\sqrt{x-a}=\sqrt{\left(x-a\right).1}\le\frac{x-a+1}{2}\)
\(\sqrt{y-b}\le\frac{y-b+1}{2}\)
\(\sqrt{z-c}\le\frac{z-c+1}{2}\)
Do đó \(VT\le\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
Dấu = khi \(\hept{\begin{cases}x=a+1\\y=b+1\\z=c+1\end{cases}}\)
Vậy pt có nghiệm \(\left(x;y;z\right)=\left(a+1;b+1;c+1\right)\)