Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Với A là một tập con của tập hợp {1;2;...;2014} thỏa mãn yêu cầu đề bài toán, gọi a là phần tử nhỏ nhất của A
Xét \(b\in A,b\ne a\) ta có b>a và \(\frac{a^2}{b-a}\ge a\Rightarrow b\le2a\)(1)
Gọi c,d là phần tử lớn nhất trong A, c<d từ (1) ta có: \(d\le2a\le2c\left(2\right)\)
Theo giả thiết \(\frac{c^2}{d-c}\in A\). Mặt khác do (2) nên \(\frac{c^2}{d-c}\ge\frac{c^2}{2c-c}\ge c\Rightarrow\frac{c^2}{d-c}\in\left\{c;d\right\}\)
Xét các trường hợp sau:
- Trường hợp 1: \(\frac{c^2}{d-c}=d\)trong trường hợp này ta có: \(\frac{c}{d}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\) mâu thuẫn với \(c,d\inℤ^+\)
- Trường hợp 2: \(\frac{c^2}{d-c}=c\)trong trường hợp này ta có: d=2c. Kết hợp với (2) => c=d và d=2a
Do đó: A={a;2} với a=1;2;...;1007. Các tập hợp trên đều thỏa mãn yêu cầu đề bài
Vậy có tất cả 1007 tập hợp thỏa mãn
1)Từ gt đề bài,ta có : (x2 - yz).y.(1 - xz) = (y2 - xz).x.(1 - yz)
=> 0 = VT - VP = (x2y - x3yz - y2z + xy2z2) - (xy2 - xy3z - x2z + x2yz2) = xy(x - y) - xyz(x2 - y2) + z(x2 - y2) + xyz2(y - x)
= (x - y)[xy - xyz(x + y) + z(x + y) - xyz2] = (x - y)[xy + xz + yz - xyz(x + y + z)]
Vì\(x\ne y\Rightarrow x-y\ne0\)nên xy + xz + yz - xyz(x + y + z) = 0 => xy + xz + yz = xyz(x + y + z)
Vì\(xyz\ne0\)nên chia 2 vế cho xyz,ta có :\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)= x + y + z (đpcm)
Bạn ko hiểu chỗ nào thì hỏi mình nhé!
Từ: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\Rightarrow\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=4\)
\(\Leftrightarrow a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{ac}+2\sqrt{bc}=4\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}=1.\)vì a + b + c = 2
Từ đó: \(a+1=a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right).\)
Tương tự: \(b+1=\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)\), \(c+1=\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{b}\right).\)
Từ đó: \(\frac{2}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}=\frac{2}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}.\)
Tương tự ta có: \(\frac{\sqrt{a}}{a+1}+\frac{\sqrt{b}}{b+1}+\frac{\sqrt{c}}{c+1}\)
\(=\frac{\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}+\frac{\sqrt{b}}{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}+\frac{\sqrt{c}}{\left(\sqrt{c}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+\sqrt{b}\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)+\sqrt{c}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}\)
\(=\frac{2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}=\frac{2}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}\).
Ta có: VP = VT nên có đpcm.
Với mỗi \(a\in A\to2a\in A\to3a=2a+a\in A\to\cdots\to na\in A\) với mọi số nguyên dương \(n.\)
Ta kí hiệu \(c\) là số dương bé nhất thuộc A và \(d\) là số âm lớn nhất thuộc A (Hai số này tồn tại vì theo giả thiết A chứa cả số âm và số dương). Nếu \(c+d>0\to c+d\) là số dương thuộc A và bé hơn \(c\), mâu thuẫn. Nếu \(c+d<0\) suy ra \(c+d\) là số âm thuộc A và lớn hơn \(d\), mâu thuẫn. Vậy \(c+d=0\), đặc biệt ta suy ra \(0\in A.\) Đặc biệt với mọi \(a\in A\to na\in A\) với mọi số \(n\) không âm. (1)
Ta xét một số dương \(x\in A\), ta xét phép chia có dư \(x=cq+r\) với \(q,r\) là số không âm và \(c>r\). Nếu \(r>0\to r=x-cq=x+qd\in A\). (Vì \(x,qd\in A\) ). Suy ra \(r\) là số dương bé hơn \(c\) và thuộc A, vô lí. Vậy \(r=0\to x\vdots c\). Tương tự, mỗi số âm \(x\in A\to x\vdots c\). Vậy mọi \(x\in A\to x\vdots c\). (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra \(A\) là tập tất cả các số có dạng \(nc,nd\) với n là số nguyên không âm. Mà \(c+d=0\to A\) là tập các số có dạng \(cn\) với \(n\) là số nguyên bất kì.
Xét hai số \(a,b\in A\) khi đó \(a=mc,b=nc\to a-b=\left(m-n\right)c\in A.\) (ĐPCM)
b) Ta có \(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+z+x+x+y}\)(BĐT Schwarz)
\(=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{y+z}=\frac{y^2}{z+x}=\frac{z^2}{x+y}\\x+y+z=2\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)
a) Có \(P=1.\sqrt{2x+yz}+1.\sqrt{2y+xz}+1.\sqrt{2z+xy}\)
\(\le\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2x+yz+2y+xz+2z+xy\right)}\)(BĐT Bunyakovsky)
\(=\sqrt{3.\left[2\left(x+y+z\right)+xy+yz+zx\right]}\)
\(\le\sqrt{3\left[4+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]}=\sqrt{3\left(4+\frac{4}{3}\right)}=4\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 2/3
Vì A khác rỗng
=> Tồn tại số a \(\in\)A => 1 - a \(\in\)A và 1/a \(\in\)A
=> \(\frac{1}{1-a}\in A;1-\frac{1}{a}=\frac{a-1}{a}\in A\)
=> \(1-\frac{1}{1-a}\in A;\frac{a}{a-1}=1-\frac{1}{1-a}\in A\)
Mà A chỉ có chứa tối đa 5 phần tử
=> \(a=1-\frac{1}{1-a}\Leftrightarrow a=\frac{a}{a-1}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=2\\a=0\left(loai\right)\end{cases}}\Leftrightarrow a=2\)
Vậy tập A = { 2; -1; 1/2}