Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\dfrac{3^{10}}{83}=\dfrac{\left(3^4\right)^{10}}{83}=\dfrac{81^{10}}{83}=\dfrac{\left(83-2\right)^{10}}{83}=k-\dfrac{2^{10}}{83}\)
=\(k-\dfrac{1024}{83}=k-\dfrac{\left(996+28\right)}{83}=k-12-\dfrac{28}{83}\\ \)
\(K\in Z\): phần dư: 83-28=55
Lời giải:
a)
Ta có \(A=7.5^{2n}+12.6^n=7.25^n+12.6^n\)
Vì \(25\equiv 6\pmod {19}\Rightarrow 7.25^n\equiv 7.6^n\pmod {19}\)
Do đó \(A\equiv 7.6^n+12.6^n\equiv 19.6^n\equiv 0\pmod {19}\)
Ta có đpcm.
b) Đặt biểu thức là $B$ .
Dễ thấy \(1924,1920\vdots 4\Rightarrow B\vdots 4(1)\)
Có \(2003\equiv -7\pmod {30}\Rightarrow 2003^{2004^n}\equiv (-7)^{2004^n}\equiv 7^{2004^n}\pmod {30}\)
Mặt khác \(7^4\equiv 1\pmod {30}\) , \(2004^n\vdots 4\) nên \(7^{2004^n}\equiv 1\pmod {30}\)
Từ hai điều trên suy ra \(2003^{2004^n}\equiv 1\pmod {30}\) . Đặt \(2003^{2004^n}=30k+1\)
Khi đó \(1924^{2003^{2004^n}}+1920=1924^{30k+1}+1924\)
Vì \(UCLN(1924,31)=1\) nên áp dụng định lý Fermat nhỏ:
\(1924^{30}\equiv 1\pmod {31}\Rightarrow 1924^{30k}\equiv 1\pmod{31}\)
\(\Rightarrow 1924^{30k+1}\equiv 1924\pmod {31}\Rightarrow 1924^{30k+1}+1920\equiv 1924+1920\equiv 3844\equiv 0\pmod{31}\)
Do đó \(B\vdots 31\) \((2)\)
Từ \((1),(2)\) và \((31,4)=1\Rightarrow B\vdots (31.4=124)\)
c)
\(5^{2n+1}+2^{n+4}+2^{n+1}=5^{2n+1}+2^{n+1}(2^3+1)\)
\(=5^{2n+1}+18.2^n=5.25^n+18.2^n\)
\(\equiv 5.2^{n}+18.2^n\pmod {23}\)
\(\Leftrightarrow 5^{2n+1}+2^{n+4}+2^{n+1}\equiv 23.2^n\equiv 0\pmod {23}\)
Ta có đpcm.
gọi g(x) là thương phép chia
số dư có dạng ax+b
đặt x^99 + x^55 + x^11 + 7 = f(x)
ta có
f(x) = g(x) . (x^2 - 1) +ax+b
x = 1
=> f(1) = g(1) . (1^2 - 1) + a+b
11 = a+b
x=-1
=> f(-1) = g(-1) . (-1^2 - 1) -a+b
=> 3 = -a+b
ta có
a+b = 11
b-a = 3
=> 2a = 8
=> a=4
b=7
thương phép chia là 4a+7
\(2^{30}\equiv1\left(mod11\right)\)
\(\Rightarrow2^{2003}=\left(2^{30}\right)^{66}.2^{23}\equiv1^{66}.2^{23}\equiv2^{23}\equiv8\left(mod11\right)\)
\(\Rightarrow3^{2^{2003}}\equiv3^8\equiv5\left(mod11\right)\)
cái đoạn \(3^8\equiv5\left(mod11\right)\) là tự dùng máy tính à ?