Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C D O M
Gọi O là giao điểm của AC và BD
TH1: M trùng O
=> AM+MB+MC+AD=AC+BD(1)
TH2: M không trùng O
Áp dụng BĐT tam giác, ta có:
\(\hept{\begin{cases}AM+MC>AC\\MB+MD>BD\end{cases}\Rightarrow AM+MB+MC+MD>AC+BD}\)(2)
Từ (1)và (2) => để tổng khoảng cách từ M đến cách đỉnh trong tứ giác ABCD nhỏ nhất => M trùng O
L=MA+MB+MC+MD
L=(MA+MD)+(MB+MC)
(MA+MD) nhỏ nhất khi AMD trên đường thẳng
(MB+MC) nhỏ nhất khi BMC trên đường thẳng
=> Lmin đạt được khi M là giao hai đường chéo AD và BC
a) giao điểm của các đường phân giác
b) M≡T (điểm T được gọi là điểm Toricenli của tam giác ABC).
hoặc M≡B
nếu bạn nói M trùng B thì phải nói rõ điều kiện đặt cho 3 cạnh của tam giác
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho 2 bộ số \(\left(\sqrt{ax},\sqrt{by},\sqrt{cz}\right)\) và \(\left(\sqrt{\frac{a}{x}};\sqrt{\frac{b}{y}};\sqrt{\frac{c}{z}}\right)\)có:
\(\left(ax+by+cz\right)\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)\ge\left(\sqrt{ax}.\sqrt{\frac{a}{x}}+\sqrt{by}.\sqrt{\frac{b}{y}}+\sqrt{cz}.\sqrt{\frac{c}{z}}\right)^2\)
Suy ra \(\left(ax+by+cz\right)\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)(1)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\), tức là M cách đều BC,CA,AB hay M là tâm nội tiếp \(\Delta\)ABC
Ta có \(2S_{ABC}=2S_{BMC}+2S_{CMA}+2S_{AMB}=ax+by+cz\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2S_{ABC}}=const\)
Vậy Min \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2S_{ABC}}\). Đạt được khi M là tâm nội tiếp \(\Delta\)ABC.