Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Sửa đề cho x,y,z dương thỏa mãn xyz=1 tìm max \(...+\frac{1}{\sqrt{\left(2z+1\right)\left(x+2\right)}}\)
gọi bthuc là A
\(\frac{1}{\sqrt{\left(2x+1\right)\left(y+2\right)}}\le\frac{2}{2x+y+3}=\frac{2}{x+y+x+1+2}\le\frac{2}{2\sqrt{xy}+2\sqrt{x}+2}=\frac{1}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+1}\)
Tương tự,cộng vế theo vế ta dc:
\(A\le\frac{1}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{1}{\sqrt{zx}+\sqrt{z}+1}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{xy}+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+1+\sqrt{xy}}=1\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1
Do 2 không chia hết cho 3 nên \(2^n\)không chia hết cho 3 ( do \(n\in N\))
\(\Rightarrow2^n\)chia 3 dư 1 hoặc 2
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}2^n-1⋮3\\2^n+1⋮3\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(2^n-1\right)\left(2^n+1\right)⋮3\)với mọi \(n\in N\)(đpcm)
2.a,
\(x^2-2x+3=2\sqrt{2x^2-4x+3}\)
Đặt \(\sqrt{x^2-2x+3}=t\left(t\ge\sqrt{2}\right)\)
\(\Rightarrow2x^2-4x+3=2t^2-3\)
\(\Rightarrow\)phương trình trên trở thành:
\(t^2=2\sqrt{2t^2-3}\)
\(\Leftrightarrow t^4=8t^2-12\)
\(\Leftrightarrow t^4-8t^2+12=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t^2-6\right)\left(t^2-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t^2-6=0\\t^2-2=0\end{cases}}\)
TH1. \(t^2-6=0\)\(\Rightarrow x^2-2x+3=6\)\(\Leftrightarrow x^2-2x-3=0\)\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=3\)hoặc \(x=-1\)
TH2. \(t^2-2=0\) \(\Rightarrow x^2-2x+3=2\)\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\)\(\Leftrightarrow x=1\)
Vậy pt có tập nghiệm là \(S=\left\{1;3;-1\right\}\)
4.
a,
Xét tam giác ABO có OA=OB=R và AB=\(R\sqrt{2}\)(gt)
mà \(R^2+R^2=\left(R\sqrt{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow\)độ dài 3 cạnh của tam giác ABO là một bộ số Pitagoras
\(\Rightarrow\)tam giác ABO vuông cân tại O
\(\Rightarrow\)\(\widehat{OAB}=\widehat{OBA}=45^0\)
Xét tam giác CAP có CA=CP=\(R_1\)\(\Rightarrow\)tam giác CAP cân tại C mà \(\widehat{CAP}=45^0\)
\(\Rightarrow\)tam giác CAP vuông cân tại C
tương tự \(\Rightarrow\)tam giác DBP vuông cân tại D
ta có: CP vuông góc vơi OA(c/m trên) và DB vuông góc với OB(c/m trên)
mà OA vuông góc vơi OB \(\Rightarrow\)\(\widehat{CPD}=90^0\)
\(\widehat{CMD}=\widehat{CMP}+\widehat{DMP}=\widehat{CPM}+\widehat{DPM}=\widehat{CPD}=90^0\)
\(\Rightarrow\)\(M\in\)đường tròn đường kính CD
do tứ giác OCPD là hình chữ nhật ( có 4 góc vuông ) \(\Rightarrow\)\(M,O,C,D,P\)cùng thuộc 1 đường tròn đường kính OP (đpcm)
\(\Rightarrow\)OM vuông góc với MP mà CD vuông góc với MP ( t/c đường nối tâm vuông góc với dây chung tại trung điểm)
\(\Rightarrow OM//CD\)(đpcm)
ĐKXĐ : \(x>\frac{1}{2};y>\frac{1}{2};z>\frac{1}{2}\)
Áp dụng ( a+b)2 \(\ge4ab\)ta có :
( x+ 2y)2 = \(\left(\frac{2x+y}{2}+\frac{3y}{2}\right)^2\ge4.\left(\frac{2x+y}{2}\right).\frac{3y}{2}\)
\(\Rightarrow\left(x+2y\right)^2\ge3y\left(2x+y\right)\)
\(\Rightarrow\frac{2x+y}{x+2y}\le\frac{x+2y}{3y}\)
\(\Rightarrow\frac{2x+y}{x\left(x+2y\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Tương tự : \(\frac{2y+z}{y\left(y+2\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\frac{2z+x}{z.\left(z+2x\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{z}+\frac{1}{x}\right)\)
=> \(A\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
Ta có : \(\sqrt{\left(2x-1\right)1}\le\frac{2x-1+1}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{2x-1}\le x\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}\le\frac{1}{\sqrt{2x-1}}\)
\(\frac{1}{y}\le\frac{1}{\sqrt{2y-1}}\)
\(\frac{1}{z}\le\frac{1}{\sqrt{2z-1}}\)
Do đó
A \(\le\frac{1}{\sqrt{2x-1}}+\frac{1}{\sqrt{2y-1}}+\frac{1}{\sqrt{2z-1}}\)
Vậy Max A = 3 khi x = y = z = 1
Theo Cô-si ta có:
\(3=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}+\frac{1}{\sqrt{2y-1}}+\frac{1}{\sqrt{2z-1}}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le3\)
Xét:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\Sigma_{cyc}\frac{2x+y}{x\left(x+2y\right)}=\frac{1}{3}\left[\frac{\left(x-y\right)^2}{xy\left(x+2y\right)}+\frac{\left(y-z\right)^2}{yz\left(y+2z\right)}+\frac{\left(z-x\right)^2}{zx\left(z+2x\right)}\right]\ge0\)
\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{2x+y}{x\left(x+2y\right)}\le3\)
Bài 2:
a: 2x+y=1 và x-y=2
=>3x=3 và x-y=2
=>x=1 và y=-1
b: x+2y=2 và x+2y=5
=>0x=-3 và x+2y=2
=>\(\left(x,y\right)\in\varnothing\)
c: 2x+y=3 và -2x-y=-3
=>0x=0 và 2x+y=3
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\in R\\y=3-2x\end{matrix}\right.\)