Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1/ ĐKXĐ: \(\cos2x\ne0\)
\(\frac{\cos4x}{\cos2x}=\frac{\sin2x}{\cos2x}\)\(\Leftrightarrow\cos4x-\sin2x=0\)
\(\Leftrightarrow2\cos^22x-1-\sin2x=0\)
\(\Leftrightarrow2-2\sin^22x-1-\sin2x=0\)
\(\Leftrightarrow2\sin^22x+\sin2x-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sin2x=\frac{1}{2}=\sin\frac{\pi}{6}\\\sin2x=-1=\sin\frac{-\pi}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\2x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\\2x=\frac{-\pi}{2}+2k\pi\left(l\right)\\2x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{12}+k\pi\\x=\frac{5\pi}{12}+k\pi\end{matrix}\right.\)
2/ \(\sin2.4x+\cos4x=1+2\sin2x.\cos\left(2x+4x\right)\)
\(\Leftrightarrow2\sin4x.\cos4x+\cos4x=1+2\sin2x.\left(\cos2x.\cos4x-\sin2x.\sin4x\right)\)
\(\Leftrightarrow2\sin4x.\cos4x+\cos4x=1+2\sin2x.\cos2x.\cos4x-2\sin^22x.\sin4x\)
\(\Leftrightarrow2\sin4x.\cos4x+\cos4x=1+\sin4x.\cos4x-\sin4x+\cos4x.\sin4x\)
Đến đây bn tự giải nốt nhé, lm kiểu bthg thôi bởi vì đã quy về hết sin4x và cos4x r
7.
Đặt \(\left|sinx+cosx\right|=\left|\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right|=t\Rightarrow0\le t\le\sqrt{2}\)
Ta có: \(t^2=1+2sinx.cosx\Rightarrow sinx.cosx=\frac{t^2-1}{2}\) (1)
Pt trở thành:
\(\frac{t^2-1}{2}+t=1\)
\(\Leftrightarrow t^2+2t-3=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=-3\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
Thay vào (1) \(\Rightarrow2sinx.cosx=t^2-1=0\)
\(\Leftrightarrow sin2x=0\Rightarrow x=\frac{k\pi}{2}\)
\(\Rightarrow x=\left\{\frac{\pi}{2};\pi;\frac{3\pi}{2}\right\}\Rightarrow\sum x=3\pi\)
6.
\(\Leftrightarrow\left(1-sin2x\right)+sinx-cosx=0\)
\(\Leftrightarrow\left(sin^2x+cos^2x-2sinx.cosx\right)+sinx-cosx=0\)
\(\Leftrightarrow\left(sinx-cosx\right)^2+sinx-cosx=0\)
\(\Leftrightarrow\left(sinx-cosx\right)\left(sinx-cosx+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx-cosx=0\\sinx-cosx=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0\\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-\frac{\pi}{4}=k\pi\\x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+k\pi\\x-\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+k\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+k\pi\\x=k\pi\\x=\frac{3\pi}{2}+k\pi\end{matrix}\right.\)
Pt có 3 nghiệm trên đoạn đã cho: \(x=\left\{\frac{\pi}{4};0;\frac{\pi}{2}\right\}\)
\(\Leftrightarrow tanx\left(tanx-2\right)+m\left(tanx-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(tanx-2\right)\left(tanx-m\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}tanx=2\\tanx=m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=arctan\left(2\right)+k\pi\\tanx=m\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Do \(2>\sqrt{3}\Rightarrow\frac{\pi}{3}< arctan\left(2\right)< \frac{\pi}{2}\Rightarrow x=arctan\left(2\right)+k\pi\) có đúng 1 nghiệm trên khoảng đã cho
\(\Rightarrow\) Để pt đã cho có 3 nghiệm pb \(\Leftrightarrow tanx=m\) có 2 nghiệm pb
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne2\\0\le m\le\sqrt{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le m\le\sqrt{3}\)
1.
\(\Leftrightarrow2x-\frac{\pi}{4}=x+\frac{\pi}{3}+k\pi\)
\(\Rightarrow x=\frac{7\pi}{12}+k\pi\)
\(-\pi< \frac{7\pi}{12}+k\pi< \pi\Rightarrow-\frac{19}{12}< k< \frac{5}{12}\Rightarrow k=\left\{-1;0\right\}\) có 2 nghiệm
\(x=\left\{-\frac{5\pi}{12};\frac{7\pi}{12}\right\}\)
2.
\(\Leftrightarrow3x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k\pi\)
\(\Rightarrow x=\frac{5\pi}{18}+\frac{k\pi}{3}\)
Nghiệm âm lớn nhất là \(x=-\frac{\pi}{18}\) khi \(k=-1\)
3.
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-\frac{3\pi}{4}=\frac{\pi}{3}+k2\pi\\x-\frac{3\pi}{4}=\frac{2\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{13\pi}{12}+k2\pi\\x=\frac{17\pi}{12}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
Nghiệm âm lớn nhất \(x=-\frac{7\pi}{12}\) ; nghiệm dương nhỏ nhất \(x=\frac{13\pi}{12}\)
Tổng nghiệm: \(\frac{\pi}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=0\\tanx=-\frac{m}{2}\end{matrix}\right.\)
\(sinx=0\Rightarrow x=k\pi\)
Mà \(x\in\left[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{4}\right]\Rightarrow x=0\)
\(\Rightarrow\) Để pt có ít nhất 2 nghiệm trên khoảng đã cho thì \(tanx=-\frac{m}{2}\) có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng đã cho
\(-\frac{\pi}{3}\le x\le\frac{\pi}{4}\Rightarrow-\sqrt{3}\le tanx\le1\)
\(\Rightarrow-\sqrt{3}\le-\frac{m}{2}\le1\Rightarrow-2\le m\le2\sqrt{3}\)