BÀI 1: Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:a) ∆ABE = ∆ADC b) Góc BMC = 120oBài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. ở miền ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH).a) Chứng minh: EM + HC = NH.b) Chứng minh: EN // FM.Bài 3:Cho...
Đọc tiếp
BÀI 1: Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:
a) ∆ABE = ∆ADC b) Góc BMC = 120o
Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. ở miền ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH).
a) Chứng minh: EM + HC = NH.
b) Chứng minh: EN // FM.
Bài 3:Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q sao cho chu vi DAPQ bằng 2.
Chứng minh rằng : Góc PCQ = 45o
Bài 4:Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác của các góc B và C cắt AC và AB lần lượt tại E và D.
a) Chứng minh rằng: BE = CD; AD = AE.
b) Gọi I là giao điểm của BE và CD. AI cắt BC ở M, chứng minh rằng các ∆MAB; MAC là tam giác vuông cân.
c) Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE, các đường thẳng này cắt BC lần lượt ở K và H. Chứng minh rằng KH = KC.
Bài 5: Cho tam giác cân ABC (AB = AC ). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng:
a) DM = EN
b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC.
a) Vì D nằm trên tia đối của HA
=> BH\(\perp\)HD
Xét 2 \(\Delta BHA\) và \(\Delta BHD\)có :
HA = HD (gt)
\(\widehat{BHA}\) = \(\widehat{BHD}\)
BH là cạnh chung
=>\(\Delta BHA\)= \(\Delta BHD\)(c.g.c)
=>\(\orbr{\begin{cases}\widehat{ABH}=\widehat{DBH}\\AB=BD\end{cases}}\)
Xét 2 \(\Delta ABC\)và \(\Delta DBC\)có:
AB=AD (cmt)
\(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{DBC}\)(cmt)
BH là cạnh chung
=> \(\Delta ABC=\Delta DBC\)(c.g.c)
Mà \(\Delta ABC\)vuông cân
Nên \(\Delta DBC\)vuông cân
Vậy \(\Delta DBC\)vuông cân (đpcm)
b) Vì \(\Delta ABC\)vuông cân tại A
=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{90^o}{2}=45^o\)
Vì \(\Delta DBC\)vuông cân tại D
=>\(\widehat{DBC}=\widehat{DCB}=\frac{90^o}{2}=45^o\)
Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{DBC}=90^o\)
Mà \(\widehat{ABC}+\widehat{DBC}=\widehat{ABD}\)
=> \(\widehat{ABD}=90^o\)
Ta có \(\widehat{DBE}+\widehat{ABE}=\widehat{ABD}=90^o\)
\(\widehat{FBA}+\widehat{ABE}=\widehat{FBE}=90^o\)(vì FB\(\perp\)BE)
=> \(\widehat{DBE}=\widehat{FBA}\)
Xét 2 \(\Delta\) ABF và \(\Delta\) DBE có:
\(\widehat{FBA}=\widehat{EBD}\)
AB = BD
\(\widehat{BAF}=\widehat{BDE}\left(=90^o\right)\)
=>\(\Delta ABF=\Delta DBE\)(g.c.g)
=> BE=BF ( 2 cạnh tương ứng)
Vậy BE=BF (đpcm)