Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho a,b,c>0.Chung minh rang \(\frac{a^2}{b+2c}+\frac{b^2}{c+2a}+\frac{c^2}{a+2b}\ge\frac{a+b+c}{3}\)
Ta có:
\(\left(\frac{a^2}{b+2c}+\frac{b^2}{c+2a}+\frac{c^2}{a+2b}\right)\left[\left(b+2c\right)+\left(c+2a\right)+\left(a+2b\right)\right]\)
\(\ge\left[\sqrt{\frac{a^2}{b+2c}.\left(b+2\right)}+\sqrt{\frac{b^2}{c+2a}.\left(c+2a\right)}+\sqrt{\frac{c^2}{a+2b}.\left(a+2b\right)}\right]^2\)
\(=\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(\frac{a^2}{b+2c}+\frac{b^2}{c+2a}+\frac{c^2}{a+2b}\right)\left[3\left(a+b+c\right)\right]\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+2c}+\frac{b^2}{c+2a}+\frac{c^2}{a+2b}\ge\frac{a+b+c}{3}\left(đpcm\right)\)
Ta biến đổi 1 tí nhé
\(\frac{4}{a}+\frac{5}{b}+\frac{3}{c}\ge4\left(\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{4}{a}+\frac{5}{b}+\frac{3}{c}\right)\)
Tới đây dễ dàng áp dụng BĐT \(\frac{4}{x+y}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{a+b}\le\frac{3}{4}.\frac{1}{a}+\frac{3}{4}.\frac{1}{b}\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{b+c}\le\frac{1}{2}.\frac{1}{b}+\frac{1}{2}.\frac{1}{c}\left(2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}.\frac{1}{a}+\frac{1}{4}.\frac{1}{c}\left(3\right)\)
Cộng vế với vế của (1), (2), (3) suy ra
\(\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{a}+\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{b}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{b}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{c}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{a}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{a}+\frac{5}{4}\cdot\frac{1}{b}+\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{4}{a}+\frac{5}{b}+\frac{3}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow Dpcm\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:
\(a^3+a^3+1\geq 3\sqrt[3]{a^6}=3a^2\)
\(b^3+b^3+1\geq 3\sqrt[3]{b^6}=3b^2\)
\(c^3+c^3+1\geq 3\sqrt[3]{c^6}=3c^2\)
Cộng theo vế các BĐT vừa thu được ta có:
\(2(a^3+b^3+c^3)+3\geq 3(a^2+b^2+c^2)\)
\(\Leftrightarrow 2A+3\geq 9\)
\(\Leftrightarrow A\geq 3\)
Vậy \(A_{\min}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Áp dụng BĐT \(x^2+y^2\ge2xy\) ( với a,b,c>0) ta có:
\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{a\left(b+c\right)}{4}=\frac{a^4}{a\left(b+c\right)}+\frac{a\left(b+c\right)}{4}\ge a^2\) (1)
CMTT ta được
\(\frac{b^3}{a+c}+\frac{b\left(a+c\right)}{4}\ge b^2\) (2)
\(\frac{c^3}{a+b}+\frac{c\left(a+b\right)}{4}\ge c^2\) (3)
Cộng lần lượt từng vế của 3 BĐT (1);(2);(3) ta được:
\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}+\frac{a\left(b+c\right)}{4}+\frac{b\left(c+a\right)}{4}+\frac{c\left(a+b\right)}{4}\ge a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}+\frac{2\left(ab+bc+ac\right)}{4}\ge a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\ge a^2+b^2+c^2-\frac{ab+bc+ca}{2}\) (*)
Áp dụng BĐT \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)với 3 số a,b,c>0 ta được:
\(\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\ge\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Thay vào pt (*) ta được:
\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\ge a^2+b^2+c^2-\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\left(đpcm\right)\)
k tớ nha !!!
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM 3 số không âm :
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}=3\sqrt[3]{1}=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\Leftrightarrow a=b=c\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy có:
$\frac{a^3}{b}+ab\geq 2\sqrt{\frac{a^3}{b}.ab}=2a^2$
$\frac{b^3}{c}+bc\geq 2b^2$
$\frac{c^3}{a}+ac\geq 2c^2$
$\Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+ab+bc+ac\geq 2(a^2+b^2+c^2)(1)$
Cũng áp dụng BĐT Cauchy ta dễ thấy:
$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ac)\geq a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac-(ab+bc+ac)=a^2+b^2+c^2$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Lần sau bạn lưu ý gõ đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để mọi người đọc hiểu của bạn hơn nhé.