Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Với điều kiện \(\left(m-2\cos x\right)\left(m-2\sin x\right)\ne0\) (*) phương trình đã cho tương đương với
\(\left(m\sin x-2\right)\left(m-2\sin x\right)=\left(m\cos x-2\right)=\left(m-2\cos x\right)\)
\(\Leftrightarrow m^2\sin x-2m-2m\sin^2x+4\sin x=m^2\cos x-2m-2m\cos^2x+4\cos x\)
\(\Leftrightarrow2m\left(\cos^2x-\sin^2x\right)-m^2\left(\cos x-\sin x\right)-4\left(\cos x-\sin x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\cos x-\sin x\right)\left(2m\left(\cos x+\sin x\right)-m^2-4\right)=0\) (1)
a) Nếu \(m=0\) thì (1) \(\Leftrightarrow\cos x-\sin x=0\)\(\Leftrightarrow\tan x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\). Nghiệm này sẽ không thỏa mãn điều kiện (*) khi và chỉ khi \(\left(m-2\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+k\pi\right)\right)\left(m-2\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+k\pi\right)\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(0-\left(-1\right)^k\sqrt{2}\right)\left(0-\left(-1\right)^k\sqrt{2}=0\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(-1\right)^k\sqrt{2}=0\) , vô lí.
Vậy khi \(m=0\), phương trình đã cho có nghiệm là \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\)
b) Nếu \(m\ne0\) thì (1) tương đương với tập hợp hai phương trình:
\(\tan x=1\) (2) và \(\sqrt{2}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{m^2+4}{2m}\)\(\Leftrightarrow\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{m^2+4}{2m\sqrt{2}}\) (3)
Trong đó phương trình (3) vô nghiệm vì \(\left|\dfrac{m^2+4}{2m\sqrt{2}}\right|=\dfrac{m^2+4}{2\sqrt{2}\left|m\right|}\ge\dfrac{2\sqrt{4m^2}}{2\sqrt{2}\left|m\right|}=\sqrt{2}>1\).
Phương trình (2) có nghiệm là \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\). Nghiệm này sẽ không thỏa mãn điều kiện (*) khi và chỉ khi
\(\left(m-2\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+k\pi\right)\right)\left(m-2\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+k\pi\right)\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(m-\left(-1\right)^k\sqrt{2}\right)\left(m-\left(-1\right)^k\sqrt{2}=0\right)\)
\(\Leftrightarrow m=\left(-1\right)^k\sqrt{2}\), trái giả thiết \(m\ne\pm\sqrt{2}\).
Tóm lại, trong mọi trường hợp phương trình đã cho có nghiệm \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) Điều kiện \(x\in[20\pi;30\pi]\) tương đương với \(20\pi\le\dfrac{\pi}{4}+k\pi\le30\pi\)\(\Leftrightarrow20-\dfrac{1}{4}\le k\le30-\dfrac{1}{4}\)\(\Leftrightarrow k=21;22;23;...;29\). Số nghiệm của phương trình trong đoạn đang xét là 9.
Câu nào mình biết thì mình làm nha.
1) Đổi thành \(\dfrac{y^4}{4}+y^3-2y\) rồi thế số.KQ là \(\dfrac{-3}{4}\)
2) Biến đổi thành \(\dfrac{t^2}{2}+2\sqrt{t}+\dfrac{1}{t}\) và thế số.KQ là \(\dfrac{35}{4}\)
3) Biến đổi thành 2sinx + cos(2x)/2 và thế số.KQ là 1
1.a/ \(\left\{{}\begin{matrix}3^{x+1}>0\\5^{x^2}>0\end{matrix}\right.\) \(\forall x\) \(\Rightarrow\) pt vô nghiệm
b/ Mình làm câu b, câu c bạn tự làm tương tự, 3 câu này cùng dạng
Lấy ln hai vế:
\(ln\left(3^{x^2-2}.4^{\dfrac{2x-3}{x}}\right)=ln18\Leftrightarrow ln3^{x^2-2}+ln4^{\dfrac{2x-3}{x}}-ln18=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2\right)ln3+\dfrac{2x-3}{x}2ln2-ln\left(2.3^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^3ln3-2x.ln3+4x.ln2-6ln2-x.ln2-2x.ln3=0\)
\(\Leftrightarrow x^3ln3-4x.ln3+3x.ln2-6ln2=0\)
\(\Leftrightarrow x.ln3\left(x^2-4\right)+3ln2\left(x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2ln3+2x.ln3+3ln2\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2=0\Rightarrow x=2\\x^2ln3+2x.ln3+3ln2=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Xét (1): \(\left(x^2+2x\right)ln3=-3ln2\Leftrightarrow x^2+2x=\dfrac{-3ln2}{ln3}=-3log_32\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=1-3log_32=log_33-log_38=log_3\dfrac{3}{8}< 0\)
\(\Rightarrow\left(1\right)\) vô nghiệm
\(\Rightarrow\) pt có nghiệm duy nhất \(x=2\)
2/ Pt đã cho tương đương:
\(2017^{sin^2x}-2017^{cos^2x}=cos^2x-sin^2x\)
\(\Leftrightarrow2017^{sin^2x}+sin^2x=2017^{cos^2x}+cos^2x\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=2017^t+t\) (\(0\le t\le1\))
\(\Rightarrow f'\left(t\right)=2017^t.ln2017+1>0\) \(\forall t\) \(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến
\(\Rightarrow f\left(t_1\right)=f\left(t_2\right)\Leftrightarrow t_1=t_2\)
\(\Rightarrow sin^2x=cos^2x\Rightarrow cos^2x-sin^2x=0\Rightarrow cos2x=0\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\)
Thế k=0; k=1 ta được 2 nghiệm thuộc đoạn đã cho là \(x=\dfrac{\pi}{4};x=\dfrac{3\pi}{4}\)
\(\Rightarrow\) tổng nghiệm là \(T=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{3\pi}{4}=\pi\)
\(pt\Leftrightarrow2sinx.cosx+\left(sinx+cosx\right)-2=m\)
đặt \(sinx+cosx=t\) , do \(x\in\left(0;\dfrac{3\pi}{4}\right)\) thì \(x+\dfrac{\pi}{4}\in\left(\dfrac{\pi}{4};\pi\right)\).
Vì vậy \(t=sinx+cosx=\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\) có tập giá trị là \(\left(0;\sqrt{2}\right)\).
Suy ra \(2sinxcosx=t^2-1\), ta có phương trình:
\(t^2-1+t-2=m\Leftrightarrow t^2+t-3=m\) với \(t\in\left(0;\sqrt{2}\right)\).
Xét hàm số \(f\left(t\right)=t^2+t-3\) có \(f'\left(t\right)=2t+1\ge0\) với mọi \(t\in\left(0;\sqrt{2}\right)\).
Suy ra hàm số \(f\left(t\right)=t^2+t-3\) đồng biến trên khoảng \(\left(0;\sqrt{2}\right)\).
\(f\left(0\right)=-3;f\left(\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}-1\).
Vậy với \(-3< m< \sqrt{2}-1\) thì \(t^2+t-3=m\) có nghiệm duy nhất.
Quay trở lại phép đặt t ta có: \(t=\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\) . Để phương trình \(t=\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\) có hai nghiệm thuộc khoảng \(\left(0;\dfrac{3\pi}{4}\right)\) thì \(t\) nhận các giá trị tương ứng với \(x+\dfrac{\pi}{4}\in\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}\right)\) hay \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}< t< 1\).
Suy ra \(\dfrac{-5+\sqrt{2}}{2}< m< 0\),
Bài giả của bạn Bùi Thị Vân có nhầm lẫn, đáp số bạn Vân đưa ra là \(\dfrac{-5+\sqrt{2}}{2}< m< 0\). Có thể thấy \(m=-1\) thuộc khoảng \(\left(\dfrac{-5+\sqrt{2}}{2};0\right)\) nhưng với \(m=-1\) thì phương trình \(t^2+t-3=m\Leftrightarrow t^2+t-3=-1\)\(\Leftrightarrow t=1;t=-2\). Phương trình đã cho tương đương với \(\sin x+\cos x=1\Leftrightarrow\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\). Đặt \(y=x+\dfrac{\pi}{4}\) thì \(\dfrac{\pi}{4}< y< \pi\) (do \(x\in\left(0;\dfrac{3\pi}{4}\right)\)) và phương trình trở thành \(\sin y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\). Trong khoảng \(\dfrac{\pi}{4}< y< \pi\)phương trình \(\sin y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) có nghiệm duy nhất \(y=\dfrac{3\pi}{4}\) nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{\pi}{2}\) (chứ không phải là có đúng hai nghiệm như yêu cầu đề bài). Xin sửa lại bài giải như sau:
- Đặt \(t=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\sin x+\cos x\right)\) thì \(t\sqrt{2}=\sin x+\cos x\Rightarrow2t^2=1+2\sin x\cos x=1+\sin2x\) nên \(\sin2x=2t^2-1\), phương trình đã cho trở thành \(2t^2-1+\sqrt{2}t-2=m\Leftrightarrow2t^2+\sqrt{2}t-3=m\) (1)
-Vì phương trình đã cho được xét trong khoảng \(\left(0;\dfrac{3\pi}{4}\right)\) tức là \(x+\dfrac{\pi}{4}\in\left(\dfrac{\pi}{4};\pi\right)\) suy ra \(t=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\in(0;1]\). Do đó để phương trình đã cho có nghiệm \(x\in\left(0;\dfrac{3\pi}{4}\right)\), điều kiện cần và đủ là (1) có nghiệm \(t\in(0;1]\), tức là số \(m\) phải thuộc tập giá trị của hàm số \(f\left(t\right)=2t^2+\sqrt{2}t-3\) với \(t\in(0;1]\). Ta có \(f'\left(t\right)=4t+\sqrt{2}>0,\)\(\forall t\in(0;1]\) nên \(f\left(t\right)\)đồng biến trong khoảng \(t\in(0;1]\) và tập giá trị của nó là khoảng \((f\left(0\right);f\left(1\right)]=(-3;\sqrt{2}-1]\). Như vậy điều kiện cần để yêu cầu bài toán được thực hiện là \(m\in(-3;\sqrt{2}-1]\).
- Với \(m\in(-3;\sqrt{2}-1]\), chú ý rằng \(f\left(t\right)\) đồng biến trong khoảng \(t\in(0;1]\) nên (1) có nghiệm duy nhất \(t_0\in(0;1]\) và phương trình đã cho tương đương với \(\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=t_0\) (2). Ta cần đếm số nghiệm của (2) trong khoảng \(\left(0;\dfrac{3\pi}{4}\right)\). Để làm điều đó, ta đặt \(y=x+\dfrac{\pi}{4}\Leftrightarrow x=y-\dfrac{\pi}{4}\) thì (2) trở thành \(\sin y=t_0\) và \(y\in\left(\dfrac{\pi}{4};\pi\right)\).
Hình trên biểu diễn đồ thị hàm số \(y=\sin x\) với \(x\in(\dfrac{\pi}{4};\pi]\). Ta thấy phương trình \(\sin y=t_0\) có 2 nghiệm trong khoảng này khi và chỉ khi \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}< t_0< 1\), tức là \(m\) phải thuộc tập giá trị của hàm số \(f\left(t\right)=2t^2+\sqrt{2}t-3\) với
\(t\in\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2};1\right)\), điều này xảy ra khi và chỉ khi \(f\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)< m< f\left(1\right)\Leftrightarrow-1< m< \sqrt{2}-1\).
Đáp số: \(-1< m< \sqrt{2}-1\).
Chú ý: Bài toán này có thể giải không dùng đạo hàm. Các bạn thử tìm một cách giải như vậy.