Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chứng minh:
\(2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)< \frac{1}{\sqrt{b}}\)
\(\Leftrightarrow2\left(\sqrt{b+1}-\sqrt{b}\right)< \frac{1}{\sqrt{b}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{\sqrt{b+1}+\sqrt{b}}< \frac{1}{\sqrt{b}}\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{b}< \sqrt{b+1}+\sqrt{b}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{b}< \sqrt{b+1}\)(đúng)
Cái còn lại tương tự
Theo giả thiết: \(a+b+c=3\Rightarrow b+c=3-a\). Tương tự: a+b=3-a và c+a=3-b
Khi đó \(\frac{1}{a^2+b+c}+\frac{1}{b^2+c+a}+\frac{1}{c^2+a+b}=\frac{1}{a^2-a+3}+\frac{1}{b^2-b+3}+\frac{1}{c^2-c+3}\)
Ta chứng minh BĐT phụ sau:
\(\frac{1}{a^2-a+3}\le\frac{4-a}{9}\)(1)
Thật vậy, BĐT (1) \(\Leftrightarrow9\le\left(4-a\right)\left(a^2-a+3\right)\)
\(\Leftrightarrow9\le-a^3+5a^2-7a+12\)\(\Leftrightarrow-a^3+5a^2-7a+3\ge0\)
\(\Leftrightarrow-a^3+a^2+4a^2-4a-3a+3\ge0\)
\(\Leftrightarrow-a^2\left(a-1\right)+4a\left(a-1\right)-3\left(a-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(-a^2+4a-3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(-a^2+a+3a-3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left[-a\left(a-1\right)+3\left(a-1\right)\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(3-a\right)\ge0\)(2)
Ta thấy \(a;b;c>0\) và \(a+b+c=3\Rightarrow a< 3\)\(\Rightarrow3-a>0\)
Mà \(\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\). Nên \(\left(a-1\right)^2\left(3-a\right)\ge0\)
Do đó: BĐT (2) luôn đúng với mọi 0<a<3 => BĐT (1) cũng đúng
Chứng minh tương tự \(\frac{1}{b^2-b+3}\le\frac{4-b}{9};\frac{1}{c^2-c+3}\le\frac{4-c}{9}\)
Từ đó suy ra:
\(\frac{1}{a^2-a+3}+\frac{1}{b^2-b+3}+\frac{1}{c^2-c+3}\le\frac{12-\left(a+b+c\right)}{9}=\frac{12-3}{9}=1\)(Do a+b+c=3)
=> ĐPCM.
Cho x,y,z € Z+ tm: x+y+z=4
Tính A= \(\sqrt{ }\)x(4-y)(4-z) +\(\sqrt{ }\)y(4-x)(4-x) +\(\sqrt{ }\)z(4-x)(4-y) -\(\sqrt{ }\)xyz
Ta có :
\(a^2+b^2+c^2-2bc-2ca+2ab\)
\(=\left(a+b-c\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-2bc-2ca+2ab\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge2bc+2ca-2ab\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a+b=c\)
Mà \(\frac{5}{3}< \frac{6}{3}=2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\)
\(\Rightarrow2bc+2ac-2ab\le a^2+b^2+c^2< 2\)
\(\Rightarrow2bc+2ac-2ab< 2\)
Do a ,b , c > 0
\(\Rightarrow\frac{2bc+2ac-2ab}{2abc}< \frac{2}{2abc}\)
\(\Rightarrow\frac{2bc}{2abc}+\frac{2ac}{2abc}-\frac{2ab}{2abc}< \frac{2}{2abc}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)
Vậy ...
Ta có:\(\left(a+b-c\right)^2\ge0\)(với a,b,c > 0)
<=> \(a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca\ge0\)
<=> \(bc+ac-ab\le\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{5}{6}< 1\)
Chia 2 vế của bđt cho abc >0 ta dc
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)
bạn tham khảo cho 0<=a,b,c<=1 cmr: a+b2+c3-a.b-a.c-b.c <=1? | Yahoo Hỏi & Đáp