DB
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
13 tháng 8 2016
\(1.\)\(a^3b^3\left(a^2-ab+b^2\right)\le\frac{\left(a+b\right)^8}{256}\)
\(\Leftrightarrow a^3b^3\left(a^2-ab+b^2\right)\left(a+b\right)\le\frac{\left(a+b\right)^9}{256}\)
\(\Leftrightarrow a^3b^3\left(a+b\right)^3\left(a^3+b^3\right)\le\frac{\left(a+b\right)^{12}}{256}\)
\(VT=ab\left(a+b\right).ab\left(a+b\right).ab\left(a+b\right).\left(a^3+b^3\right)\)
\(\le\left(\frac{ab\left(a+b\right)+ab\left(a+b\right)+ab\left(a+b\right)+\left(a^3+b^3\right)}{4}\right)^4\)
\(\le\frac{\left(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\right)^4}{256}\)
\(\le\frac{\left(a+b\right)^{12}}{256}\left(đpcm\right).\)
14 tháng 8 2016
\(2.\) \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a}\ge1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}\)
\(\ge\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ac}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}}\\\frac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+a}.\frac{1}{1+b}.\frac{1}{1+c}\ge8\sqrt{\frac{a^2b^2c^2}{\left(1+a\right)^2.\left(1+b\right)^2.\left(1+c\right)^2}}\)\(\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\frac{8abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow\) \(1\ge8abc\)
\(\Leftrightarrow\) \(abc\ge\frac{1}{8}\left(đpcm\right).\)
UK
8 tháng 10 2017
a) \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
(Luôn đúng)
Vậy ta có đpcm.
Đẳng thức khi \(a=b=c\)
b) \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2b+1+a^2-2a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(a-1\right)^2\ge0\)
(Luôn đúng)
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức khi \(a=b=1\)
Các bài tiếp theo tương tự :v
g) \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)=a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\ge6\sqrt[6]{a^2.a^2b^2.b^2.b^2c^2.c^2.c^2a^2}=6abc\)
i) \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}}=\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{\sqrt{bc}};\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ca}}\)
Cộng vế theo vế rồi rút gọn cho 2, ta được đpcm
j) Tương tự bài i), áp dụng Cauchy, cộng vế theo vế rồi rút gọn được đpcm
10 tháng 6 2018
\(\text{a) }\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\left(1\right)\\ \Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\ge0\\ \Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{2\sqrt{ab}}{2}\ge0\\ \Leftrightarrow\dfrac{a+b-2\sqrt{ab}}{2}\ge0\\ \Leftrightarrow\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2}\ge0\left(2\right)\)
BDT (2) luôn đúng \(\forall x\) nên BDT (1) luôn đúng \(\forall x\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2}=0\\ \Leftrightarrow\sqrt{a}-\sqrt{b}=0\\ \Leftrightarrow\sqrt{a}=\sqrt{b}\\ \Leftrightarrow a=b\)
Vậy \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) đẳng thức xảy ra khi: \(a=b\)
b) Áp dụng BDT Cô-si có:
\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\\ \dfrac{a+c}{2}\ge\sqrt{ac}\\ \dfrac{b+c}{2}\ge\sqrt{bc}\\ \Rightarrow\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a+c}{2}+\dfrac{b+c}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\\ \Rightarrow\dfrac{a+b+a+c+b+c}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\\ \Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\)
Vậy \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\) đẳng thức xảy ra khi : \(a=b=c\)
1 tháng 7 2019
b) \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+\left(b-2\sqrt{bc}+c\right)+\left(c-2\sqrt{ca}+a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\ge0\)
Vì BĐT cuối luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương nên BĐT ban đầu luôn đúng
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c\)
c) \(a+b+\frac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}\right)+\left(b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)
Vì bđt cuối luôn đúng mà các phép biến đôi trên là tương đương nên bđt ban đầu luôn đúng
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{4}\)
KK
26 tháng 3 2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a^2+b^2}{ab\left(a+b\right)^3}\ge\dfrac{2ab}{ab\left(a+b\right)^3}=\dfrac{2}{\left(a+b\right)^3}\\\dfrac{b^2+c^2}{bc\left(b+c\right)^3}\ge\dfrac{2bc}{bc\left(b+c\right)^3}=\dfrac{2}{\left(b+c\right)^3}\\\dfrac{c^2+a^2}{ca\left(c+a\right)^3}\ge\dfrac{2ca}{ca\left(c+a\right)^3}=\dfrac{2}{\left(c+a\right)^3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow VT\ge2\left[\dfrac{1}{\left(a+b\right)^3}+\dfrac{1}{\left(b+c\right)^3}+\dfrac{1}{\left(c+a\right)^3}\right]\)
Chứng minh rằng \(2\left[\dfrac{1}{\left(a+b\right)^3}+\dfrac{1}{\left(b+c\right)^3}+\dfrac{1}{\left(c+a\right)^3}\right]\ge\dfrac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(a+b\right)^3}+\dfrac{1}{\left(b+c\right)^3}+\dfrac{1}{\left(c+a\right)^3}\ge\dfrac{9}{8}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2ab\le a^2+b^2\\2bc\le b^2+c^2\\2ca\le c^2+a^2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab\le a^2-ab+b^2\\bc\le b^2-bc+c^2\\ca\le c^2-ca+a^2\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab\left(a+b\right)\le\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=a^3+b^3\\bc\left(b+c\right)\le\left(b+c\right)\left(b^2-bc+c^2\right)=b^3+c^3\\ca\left(c+a\right)\le\left(c+a\right)\left(c^2-ca+a^2\right)=c^3+a^3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3ab\left(a+b\right)\le3\left(a^3+b^3\right)\\3bc\left(b+c\right)\le3\left(b^3+c^3\right)\\3ca\left(c+a\right)\le3\left(c^3+a^3\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^3+3ab\left(a+b\right)+b^3\le4\left(a^3+b^3\right)\\b^3+3bc\left(b+c\right)+c^3\le4\left(b^3+c^3\right)\\c^3+3ca\left(c+a\right)+a^3\le4\left(c^3+a^3\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b\right)^3\le4\left(a^3+b^3\right)\\\left(b+c\right)^3\le4\left(b^3+c^3\right)\\\left(c+a\right)^3\le4\left(c^3+a^3\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{\left(a+b\right)^3}\ge\dfrac{1}{4\left(a^3+b^3\right)}\\\dfrac{1}{\left(b+c\right)^3}\ge\dfrac{1}{4\left(b^3+c^3\right)}\\\dfrac{1}{\left(c+a\right)^3}\ge\dfrac{1}{4\left(c^3+a^3\right)}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(a+b\right)^3}+\dfrac{1}{\left(b+c\right)^3}+\dfrac{1}{\left(c+a\right)^3}\ge\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a^3+b^3}+\dfrac{1}{b^3+c^3}+\dfrac{1}{c^3+a^3}\right)\)
Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a^3+b^3}+\dfrac{1}{b^3+c^3}+\dfrac{1}{c^3+a^3}\right)\ge\dfrac{9}{8}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^3+b^3}+\dfrac{1}{b^3+c^3}+\dfrac{1}{c^3+a^3}\ge\dfrac{9}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}=\dfrac{9}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a^3+b^3}+\dfrac{1}{b^3+c^3}+\dfrac{1}{c^3+a^3}\right)\ge\dfrac{9}{8}\) ( đpcm )
Vậy \(2\left[\dfrac{1}{\left(a+b\right)^3}+\dfrac{1}{\left(b+c\right)^3}+\dfrac{1}{\left(c+a\right)^3}\right]\ge\dfrac{9}{4}\)
Mà \(VT\ge2\left[\dfrac{1}{\left(a+b\right)^3}+\dfrac{1}{\left(b+c\right)^3}+\dfrac{1}{\left(c+a\right)^3}\right]\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{ab\left(a+b\right)^3}+\dfrac{b^2+c^2}{bc\left(b+c\right)^3}+\dfrac{c^2+a^2}{ca\left(c+a\right)^3}\ge\dfrac{9}{4}\) ( đpcm )
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 5 2018
Lời giải:
a)
Sử dụng pp biến đổi tương đương:
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+2}{(a^2+1)(b^2+1)}\geq \frac{2}{ab+1}\)
\(\Leftrightarrow (ab+1)(a^2+b^2+2)\geq 2(a^2b^2+a^2+b^2+1)\)
\(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2)+2ab\geq 2a^2b^2+a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2-2ab)-(a^2+b^2-2ab)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow ab(a-b)^2-(a-b)^2\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (ab-1)(a-b)^2\geq 0\) (luôn đúng với mọi $ab\geq 1$)
Ta có đpcm.
b) Áp dụng công thức của phần a ta có:
\(\frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}\geq \frac{2}{1+(ab)^2}\)
Tiếp tục áp dụng công thức phần a: \(\frac{1}{1+(ab)^2}+\frac{1}{1+b^4}\geq \frac{2}{1+ab^3}\)
Do đó:
\(\frac{1}{a^4+1}+\frac{3}{b^4+1}\geq \frac{4}{1+ab^3}\)
Hoàn toàn tương tự: \(\frac{1}{b^4+1}+\frac{3}{c^4+1}\geq \frac{4}{1+bc^3}; \frac{1}{c^4+1}+\frac{3}{a^4+1}\geq \frac{4}{1+ca^3}\)
Cộng theo vế các BĐT trên thu được:
\(4\left(\frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}+\frac{1}{c^4+1}\right)\geq 4\left(\frac{1}{1+ab^3}+\frac{1}{1+bc^3}+\frac{1}{1+ca^3}\right)\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}+\frac{1}{c^4+1}\geq \frac{1}{1+ab^3}+\frac{1}{1+bc^3}+\frac{1}{1+ca^3}\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
30 tháng 5 2018
a)
<=>(x-y)+(x-y)/xy≥0
(x-y)(1-1/xy)≥0
x,y≥1=> 1/(xy)≤1=(1-1/(xy)≥0
x≥y=>x-y≥0
=> (x-y)(1-1/xy)≥0 => dccm
dang thuc khi x=y
or x.y=1
N
2
HN
8 tháng 5 2017
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{matrix}\right.\) và \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+1\ge2a\\b^2+1\ge2b\\c^2+1\ge2c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\ge2\left(a+b+c+ab+bc+ca\right)=12\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\left(1\right)\)
Ta lại có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a^3}{b}+ab\ge2a^2\\\dfrac{b^3}{c}+bc\ge2b^2\\\dfrac{c^3}{a}+ca\ge2c^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-ab-bc-ca\ge a^2+b^2+c^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\RightarrowĐPCM\)
TL
1
24 tháng 6 2017
Ta có :
\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)
<=> \(a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)
<=> \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
<=> \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
Ta có:
a,b,c,d∈Na,b,c,d∈N
Và a.b.c.d=1a.b.c.d=1
⇔a=b=c=d=1⇔a=b=c=d=1
⇔a2+b2+c2+d2+ab+cd=1+1+1+1+1+1=6⇔a2+b2+c2+d2+ab+cd=1+1+1+1+1+1=6
⇒đpcm
Cho thêm a,b,c dương nữa nhé
Giải
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\)
\(>\)hoặc \(=\)\(6\)\(\sqrt{a^2b^2c^2d^2.ab.cd}\)
\(=6\sqrt[6]{\left(abcd\right)^3=6\sqrt[6]{1}=6\left(abcd=1\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=d=1