Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(9=x+y+xy+1=(x+1)(y+1)\leq \left(\frac{x+y+2}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow 4\leq x+y\)
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^3+4x\geq 4x^2; y^3+4y\geq 4y^2\)
\(\frac{x}{4}+\frac{1}{x}\geq 1; \frac{y}{4}+\frac{1}{y}\geq 1\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+x^2+y^2+5(x+y)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 5(x^2+y^2)+\frac{3}{4}(x+y)+2\)
Mà:
\(5(x^2+y^2)\geq 5.\frac{(x+y)^2}{2}\geq 5.\frac{4^2}{2}=40\)
\(\frac{3}{4}(x+y)\geq \frac{3}{4}.4=3\)
\(\Rightarrow A= x^3+y^3+x^2+y^2+5(x+y)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 40+3+2=45\)
Vậy \(A_{\min}=45\Leftrightarrow x=y=2\)
Bài 2:
\(B=\frac{a^2}{a-1}+\frac{2b^2}{b-1}+\frac{3c^2}{c-1}\)
\(B-24=\frac{a^2}{a-1}-4+\frac{2b^2}{b-1}-8+\frac{3c^2}{c-1}-12\)
\(=\frac{a^2-4a+4}{a-1}+\frac{2(b^2-4b+4)}{b-1}+\frac{3(c^2-4c+4)}{c-1}\)
\(=\frac{(a-2)^2}{a-1}+\frac{2(b-2)^2}{b-1}+\frac{3(c-2)^2}{c-1}\geq 0, \forall a,b,c>1\)
\(\Rightarrow B\geq 24\)
Vậy \(B_{\min}=24\Leftrightarrow a=b=c=2\)
\(y^2-\left(x+1\right)y+x^2-x=0\) (1)
Coi phương trình là ẩn \(y\) với tham số \(x\), do (1) đúng nên pt phải có nghiệm
\(\Leftrightarrow\Delta\ge0\Rightarrow\left(x+1\right)^2-4\left(x^2-x\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow-3x^2+6x+1\ge0\Leftrightarrow-3x^2+6x-3+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow-3\left(x-1\right)^2+4\ge0\Leftrightarrow3\left(x-1\right)^2\le0\Rightarrow\left(x-1\right)^2\le\frac{4}{3}\)
b/ Nếu chỉ tìm x, y bất kì thỏa mãn phương trình thì đương nhiên sẽ có vô số x, y thỏa mãn
Nếu tìm x, y nguyên thỏa mãn thì ta có:
Do \(0\le\left(x-1\right)^2\le\frac{4}{3}\) và \(\left(x-1\right)^2\) nguyên \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2=1\\\left(x-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\\x=1\end{matrix}\right.\)
- Với \(x=0\Rightarrow y^2-y=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\y=1\end{matrix}\right.\)
- Với \(x=1\Rightarrow y^2-2y=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\y=2\end{matrix}\right.\)
- Với \(x=2\Rightarrow y^2-3y+2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\\y=2\end{matrix}\right.\)
