Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(\sqrt{x^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{z^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{x^2}}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)
\(\frac{x+y}{xyz}=\frac{x}{xyz}+\frac{y}{xyz}=\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\ge\frac{4}{z\left(x+y\right)}\)( Cauchy-Schwarz dạng Engel ) (1)
Lại có \(z\left(x+y\right)\le\left(\frac{x+y+z}{2}\right)^2=9\Rightarrow\frac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\frac{4}{9}\)(2)
Từ (1) và (2) ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 3/2 ; z = 3
Thay y = 3 - x vào bài toán, ta có:
\(x^2\left(3-x\right)\le4\)
\(\Leftrightarrow3x^2-x^3-4\le0\)
\(\Leftrightarrow-x^3-x^2+4x^2-4\le0\)
\(\Leftrightarrow-x^2\left(x+1\right)+4\left(x^2-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow-x^2\left(x+1\right)+4\left(x+1\right)\left(x-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(-x^2+4x-4\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow-\left(x+1\right)\left(x-2\right)^2\le0\)
Vì \(x+1>0\) và \(\left(x-2\right)^2\ge0\) nên bất đẳng thức này đúng.
\(\Rightarrow x^2y\ge4\)