QG
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
PN
9 tháng 8 2016
\(a.\)
\(\text{*)}\) Áp dụng bđt \(AM-GM\) cho hai số thực dương \(x,y,\) ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\) (do \(xy=1\) )
\(\Rightarrow\) \(3\left(x+y\right)\ge6\)
nên \(D=x^2+y^2+\frac{9}{x^2+y^2+1}+3\left(x+y\right)\ge x^2+y^2+\frac{9}{x^2+y^2+1}+6\)
\(\Rightarrow\) \(D\ge\left[\left(x^2+y^2+1\right)+\frac{9}{x^2+y^2+1}\right]+5\)
\(\text{*)}\) Tiếp tục áp dụng bđt \(AM-GM\) cho bộ số loại hai số không âm gồm \(\left(x^2+y^2+1;\frac{9}{x^2+y^2+1}\right),\) ta có:
\(\left[\left(x^2+y^2+1\right)+\frac{9}{x^2+y^2+1}\right]\ge2\sqrt{\left(x^2+y^2+1\right).\frac{9}{\left(x^2+y^2+1\right)}}=6\)
Do đó, \(D\ge6+5=11\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(x=y=1\)
Vậy, \(D_{min}=11\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=1\)
\(b.\) Bạn tìm điểm rơi rồi báo lại đây
HP
12 tháng 8 2016
a, Từ x+y=1
=>x=1-y
Ta có: \(x^3+y^3=\left(1-y\right)^3+y^3=1-3y+3y^2-y^3+y^3\)
\(=3y^2-3y+1=3\left(y^2-y+\frac{1}{3}\right)=3\left(y^2-2.y.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right)\)
\(=3\left[\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{12}\right]=3\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\) với mọi y
=>GTNN của x3+y3 là 1/4
Dấu "=" xảy ra \(< =>\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=0< =>y=\frac{1}{2}< =>x=y=\frac{1}{2}\) (vì x=1-y)
Vậy .......................................
b) Ta có: \(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{y+x}\)
\(=\left(\frac{x^2}{y+z}+x\right)+\left(\frac{y^2}{z+x}+y\right)+\left(\frac{z^2}{y+z}+z\right)-\left(x+y+z\right)\)
\(=\frac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{z+x}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{y+z}-\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{y+x}-1\right)\)
Đặt \(A=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{y+x}\)
\(A=\left(\frac{x}{y+z}+1\right)+\left(\frac{y}{z+x}+1\right)+\left(\frac{z}{y+x}+1\right)-3\)
\(=\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x}+\frac{x+y+z}{y+x}-3\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+x}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)-3\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\right]\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)-3\ge\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}\)
(phần này nhân phá ngoặc rồi dùng biến đổi tương đương)
\(=>P=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{y+x}-1\right)\ge2\left(\frac{3}{2}-1\right)=1\)
=>minP=1
Dấu "=" xảy ra <=>x=y=z
Vậy.....................
25 tháng 11 2018
Ta có \(A=\dfrac{2x+3y}{2x+y+2}\Leftrightarrow2Ax+Ay+2A-2x-3y=0\Leftrightarrow2A=2x-2Ax+3y-Ay\Leftrightarrow2A=2x\left(1-A\right)+y\left(3-A\right)\Leftrightarrow\left(2A\right)^2=\left[2x\left(1-A\right)+y\left(3-A\right)\right]^2\left(1\right)\)Áp dụng bđt bunhiacopski ta có \(\left[2x\left(1-A\right)+y\left(3-A\right)\right]^2\le\left(4x^2+y^2\right)\left[\left(1-A\right)^2+\left(3-A\right)^2\right]\Leftrightarrow\left(2A\right)^2\le1.\left(1-2A+A^2+9-6A+A^2\right)\Leftrightarrow4A^2\le2A^2-8A+10\Leftrightarrow2A^2+8A-10\le0\Leftrightarrow A^2+4A-5\le0\Leftrightarrow A^2-A+5A-5\le0\Leftrightarrow A\left(A-1\right)+5\left(A-1\right)\le0\Leftrightarrow\left(A-1\right)\left(A+5\right)\le0\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}A-1\le0\\A+5\ge0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}A-1\ge0\\A+5\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}A\le1\\A\ge-5\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}A\ge1\\A\le-5\end{matrix}\right.\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy \(-5\le A\le1\)
Vậy GTNN của A là -5
GTLN của A là 1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 10 2020
\(A=\frac{2x^3+2y^3+2}{2xy+2}=\frac{x^3+x^3+1+y^3+y^3+1}{2xy+2}\ge\frac{3\sqrt[3]{x^6}+3\sqrt[3]{y^6}}{x^2+y^2+2}=\frac{3.2}{2+2}=\frac{3}{2}\)
\(A_{min}=2\) khi \(x=y=1\)
Lại có \(\left\{{}\begin{matrix}x;y\ge0\\x^2+y^2=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le x;y\le\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow x^2\left(x-\sqrt{2}\right)\le0\Rightarrow x^3\le x^2\sqrt{2}\)
Tương tự: \(y^3\le y^2\sqrt{2}\)
Mặt khác \(x;y\ge0\Rightarrow xy+1\ge1\)
\(\Rightarrow A\le\frac{a^2\sqrt{2}+b^2\sqrt{2}+1}{1}=1+2\sqrt{2}\)
\(A_{max}=1+2\sqrt{2}\) khi \(\left(a;b\right)=\left(0;\sqrt{2}\right)\) và hoán vị
15 tháng 11 2018
2.
a/ Áp dụgn hệ quả bđt cô si,ta có :
\(A=xy+yz+zx\le\dfrac{\left(x+y+z\right)}{3}=\dfrac{a^2}{3}\)
Vậy GTLN A =a^2/3 khi x= y =z =a/3
b/Áp dụng BĐT Cô-Si dạng Engel,ta có :
\(B=\dfrac{x^2}{1}+\dfrac{y^2}{1}+\dfrac{z^2}{z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\dfrac{a^2}{3}\)
Vậy GTNN của B = a^2/2 khi x=y=z =a/3
15 tháng 11 2018
\(B=\dfrac{3x}{1-x}+\dfrac{4\left(1-x\right)}{x}+7\ge2\sqrt{\dfrac{3x}{1-x}.\dfrac{4\left(1-x\right)}{x}}+7=7+4\sqrt{3}=\left(2+\sqrt{3}\right)^2\)
Vậy min B = \(\left(2+\sqrt{3}\right)^2\) khi \(\dfrac{3x}{1-x}=\dfrac{4\left(1-x\right)}{x}\Leftrightarrow x=\left(\sqrt{3}-1\right)^2\)