Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
goi giao MF voi ABla H , giao ME voi AC la K, MD voi BC la I
Do tam giac ABC noi tiep (O) ma M thuoc (o) nen ABMC noi tiep
xet tam giac MDF co \(\hept{\begin{cases}H.la.trung.diem.MF\\I.la.trung.diem.DM\end{cases}\Rightarrow HI//DF}\) (1)
tuong tu cung co \(IK//ED\) va \(HK//EF\) ( do tinh chat duong trung binh) (2)
Xet tu giac HBIM co \(\widehat{BHM}+\widehat{BIM}=90+90=180^o\)
=> HBIM la tu giac noi tiep => \(\widehat{HIB}=\widehat{BMH}\) (cung chan \(\widebat{BH}\) ) (4)
tuong tu cung chung minh duoc tu giac MIKC la tu giac noi tiep => \(\widehat{KIC}=\widehat{KMC}\left(cung.chan.\widebat{KC}\right)\)(3)
Lai co \(\widehat{HBM}=\widehat{MAH}+\widehat{AMB}\) (tinh chat goc ngoai)
va \(\widehat{MCK}=\widehat{MCB}+\widehat{ACB}\)
ma ABMC noi tiep suy ra \(\hept{\begin{cases}\widehat{AMB}=\widehat{ACB}\\\widehat{MAB}=\widehat{MCB}\end{cases}}\)
=> \(\widehat{MHB}=\widehat{MCK}\)
xet tam giac MHB va tam giac MKC co
\(\widehat{H}=\widehat{K}=90\)
\(\widehat{MHB}=\widehat{MCK}\) (cmt)
=> \(\widehat{HMB}=\widehat{KMC}\) (5)
tu (3),(4),(5) =>\(\widehat{HIB}=\widehat{KIC}\)
=> H,I,K thang hang (6)
tu (1),(2),(6)
suy ra F,D,E thang hang ( tien de Oclit)
chuc ban hoc tot
Vì DPN+DQN=90o+90o=180o nên DPNQ là tứ giác nội tiếp
=>QPN=QDN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung QN) (5)
Mặt khác DENF là tứ giác nội tiếp nên QDN=FEN (6)
Từ (5) và (6) ta có FEN=QPN (7)
Tương tự ta có: EFN=PQN (8)
Từ (7) và (8) suy ra Δ N P Q ~ Δ N E F ( g . g ) = > P Q E F = N Q N F
Theo quan hệ đường vuông góc – đường xiên, ta có
N Q ≤ N F = > P Q E F = N Q N F ≤ 1 = > P Q ≤ E F
Dấu bằng xảy ra khi Q ≡ F ⇔ NF ⊥ DF ⇔ D, O, N thẳng hàng.
Do đó PQ max khi M là giao điểm của AC và BN, với N là điểm đối xứng với D qua O.