Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
2. b,
\(\sqrt{3x^2-2x}+3=2x\)
ĐKXĐ: \(\left[{}\begin{matrix}x\ge\frac{2}{3}\\x\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{3x^2-2x}=2x-3\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge\frac{3}{2}\\3x^2-2x=\left(2x-3\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge\frac{3}{2}\\3x^2-2x=4x^2-12x+9\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge\frac{3}{2}\\4x^2-3x^2-12x+2x+9=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge\frac{3}{2}\\x^2-10x+9=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge\frac{3}{2}\\\left(x-1\right)\left(x-9\right)=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge\frac{3}{2}\\\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=9\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=9\)
Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất là x = 9.
2.a,
\(9\sqrt{\frac{4x-8}{9}}-5\sqrt{\frac{16x-32}{25}}+18\sqrt{\frac{25x^2-100}{81}}=15\sqrt{x^2-4}\)
ĐKXĐ: \(x\ge2\)
\(\Leftrightarrow9\sqrt{\frac{4\left(x-2\right)}{9}}-5\sqrt{\frac{16\left(x-2\right)}{25}}+18\sqrt{\frac{25\left(x^2-4\right)}{81}}=15\sqrt{x^2-4}\)
\(\Leftrightarrow9.\frac{2}{3}\sqrt{\left(x-2\right)}-5.\frac{4}{5}\sqrt{\left(x-2\right)}+18.\frac{5}{9}\sqrt{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=15\sqrt{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)\(\Leftrightarrow6\sqrt{\left(x-2\right)}-4\sqrt{\left(x-2\right)}+10\sqrt{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=15\sqrt{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)\(\Leftrightarrow6\sqrt{\left(x-2\right)}-4\sqrt{\left(x-2\right)}+10\sqrt{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-15\sqrt{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=0\)\(\Leftrightarrow\sqrt{x-2}\left(6-4+10\sqrt{x+2}-15\sqrt{x+2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-2}\left(2-5\sqrt{x+2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-2}=0\\2-5\sqrt{x+2}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2=0\\\sqrt{x+2}=\frac{2}{5}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x+2=\frac{4}{25}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\left(tmDKXD\right)\\x=-\frac{11}{6}\left(khongtmDKXD\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy pt có 1 nghiệm duy nhất là x = 2.
2/
a/ \(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\ge2\sqrt{\sqrt{a}.\frac{1}{\sqrt{a}}}=2\), dấu "=" khi \(a=1\)
b/ \(a+b+\frac{1}{2}=a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4}\ge2\sqrt{a.\frac{1}{4}}+2\sqrt{b.\frac{1}{4}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
Dấu "=" khi \(a=b=\frac{1}{4}\)
c/ Có lẽ bạn viết đề nhầm, nếu đề đúng thế này thì mình ko biết làm
Còn đề như vậy: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\) thì làm như sau:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\) ; \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}}\); \(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}}\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}+\frac{2}{\sqrt{yz}}+\frac{2}{\sqrt{xz}}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\)
Dấu "=" khi \(x=y=z\)
d/ \(\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}-2}-\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}+2}=\frac{\left(\sqrt{3}+2\right)\left(\sqrt{3}+2\right)}{\left(\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{3}+2\right)}-\frac{\left(\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{3}-2\right)}{\left(\sqrt{3}+2\right)\left(\sqrt{3}-2\right)}\)
\(=\frac{7+4\sqrt{3}}{3-4}-\frac{7-4\sqrt{3}}{3-4}=-7-4\sqrt{3}+7-4\sqrt{3}=-8\sqrt{3}\)
e/ \(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}:\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\left(\sqrt{a}\right)^3+\left(\sqrt{b}\right)^3}{\sqrt{ab}}.\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\)
\(=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}=\frac{\left(a-b\right)\left(a+b-\sqrt{ab}\right)}{\sqrt{ab}}\)
\(=\frac{a^2-b^2}{\sqrt{ab}}-\left(a-b\right)\) (bạn chép đề sai)
Câu 1 chuyên phan bội châu
câu c hà nội
câu g khoa học tự nhiên
câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ
câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)
Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !
Câu c quen thuộc, chém trước:
Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)
Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)
\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)
Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)
Done.