Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 14.
Áp dụng định lí hàm số Cô sin, ta có:
\(\dfrac{{{\mathop{\rm tanA}\nolimits} }}{{\tan B}} = \dfrac{{\sin A.\cos B}}{{\cos A.\sin B}} = \dfrac{{\dfrac{a}{{2R}}.\dfrac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{2ac}}}}{{\dfrac{b}{{2R}}.\dfrac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{{2bc}}}} = \dfrac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}} \)
Bài 19.
Áp dụng định lí sin và định lí Cô sin, ta có:
\( \cot A + \cot B + \cot C\\ = \dfrac{{R\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}}{{abc}} + \dfrac{{R\left( {{c^2} + {a^2} - {b^2}} \right)}}{{abc}} + \dfrac{{R\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)}}{{abc}} = \dfrac{{R\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{abc}}\left( {dpcm} \right) \)
Câu 1 cần bổ sung thêm điều kiện $a,b,c$ là 3 cạnh của tam giác, tức là đảm bảo mẫu các phân thức vế trái luôn dương.
Nếu không, BĐT sai trong TH $(a,b,c)=(3,2,10)$
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\text{VT}=\frac{a^4}{ab+ac-a^2}+\frac{b^4}{bc+ba-b^2}+\frac{c^4}{ac+bc-c^2}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+ac-a^2+bc+ba-b^2+ca+cb-c^2}\)
\(=\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ac)-(a^2+b^2+c^2)}(1)\)
Mà theo BĐT AM-GM ta thấy: $ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2$
$\Rightarrow 2(ab+bc+ac)-(a^2+b^2+c^2)\leq a^2+b^2+c^2(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+b^2+c^2}=a^2+b^2+c^2$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Lời giải
Mấu chốt của bài toán, ta sẽ CM \(r=4R\sin\left(\frac{A}{2}\right)\sin\left(\frac{B}{2}\right)\sin\left(\frac{C}{2}\right)\)
Ta có:
Theo định lý hàm sin: \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\Rightarrow BC=2R\sin A\)
\(\Rightarrow 2R\sin A=BC=BN+NC=r\cot\left(\frac{B}{2}\right)+r\cot\left(\frac{C}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow 4R\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}=r\left ( \frac{\cos\frac{B}{2}}{\sin \frac{B}{2}}+\frac{\cos\frac{C}{2}}{\sin \frac{C}{2}} \right )=r\frac{\sin\frac{B+C}{2}}{\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}}\)
\(\Leftrightarrow 4R\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}=r\frac{\sin\frac{180^0-A}{2}}{\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}}=r\frac{\cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}}\)
\(\Rightarrow r=4R\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\)
Do đó BĐT chuyển về CM:
\(\sin^3\frac{A}{2}+\sin^3\frac{B}{2}+\sin^3\frac{C}{2}\geq 3\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\)
Hiển nhiên đúng theo AM-GM
Do đó ta có đpcm
Dấu $=$ xảy ra khi \(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}\Leftrightarrow \triangle ABC\) đều
\(cosA=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\dfrac{c^2+b^2-a^2}{2\cdot b\cdot c}=\dfrac{1}{2}\)
=>\(c^2+b^2-a^2=b\cdot c\)
=>\(\dfrac{b}{b^2-a^2}=\dfrac{c}{a^2-c^2}\)