\(a;b\ge0\). CMR: \(a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\)

">
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

21 tháng 6 2016

Ta có:

  • a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a2-2ab+b2+ab)=(a+b)[(a-b)2+ab]
  • a2b+ab2=ab(a+b)​

Vì (a-b)2+ab\(\ge\)ab

=>(a+b)[(a-b)2+ab]\(\ge\)ab(a+b)

=>a3+b3\(\ge\)a2b+ab(đpcm)

Bạn đọc lại xem hợp lí chưa, mình ko chắc lắm

21 tháng 6 2016

Ta có:

\(a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\)

<=> \(\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\)

Với trường hợp a = b = 0 thì không rút gọn đc và BĐT đúng nên khi a > 0; b > 0 thì a+b>0

nên <=> \(a^2+ab+b^2\ge ab\)

<=> \(a^2+b^2\ge0\) (đúng)

Vậy BĐT được chứng minh

9 tháng 2 2018

Ta có a + b = 1 nên  \(a^3+b^3+ab=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab=a^2+b^2\)

Lại có \(a^2+b^2=a^2+\left(1-a\right)^2=2a^2-2a+1\)

\(2\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\)

Vậy nên \(a^3+b^3+ab\ge\frac{1}{2}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

9 tháng 2 2018

Ta có:

\(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-ab+b^2\right)+ab\ge\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab\ge\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+ab\ge\frac{1}{2}\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

27 tháng 8 2017

<=>\(a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)\)>=0

<=>\(\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\)>=0

<=>\(\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\)>=0

Vì \(\left(a-b\right)^2\)>=0

<=>\(\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\)>=0 (đpcm)

27 tháng 8 2017

Vì  \(a,b\ge0\)nên 

\(a+b\ge0\)(1)

\(\left(a-b\right)^2\ge0\)(2)

Nhân vế với vế của 1 và 2 , ta được : 

\(\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab-ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab.\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\)

21 tháng 3 2019

Ý 3 bạn bỏ dòng áp dụng....ta có nhé

\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge a\left(b+c+d\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}b+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}c+c^2\right)+\)\(\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{d}d+d^2\right)+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b\right)+\left(\frac{a}{2}-c\right)+\)\(\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)( luôn đúng )

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=d=0

6) Sai đề

Sửa thành:\(x^2-4x+5>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+1>0\)

7) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a+b\ge2.\sqrt{ab}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b

\(\Leftrightarrow\frac{ab}{a+b}\le\frac{ab}{2.\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}}{2}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\frac{cb}{c+b}\le\frac{cb}{2.\sqrt{cb}}=\frac{\sqrt{cb}}{2}\)

\(\frac{ca}{c+a}\le\frac{ca}{2.\sqrt{ca}}=\frac{\sqrt{ca}}{2}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c

Cộng vế với vế của các BĐT trên ta có:

\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\le\frac{\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}}{2}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c

21 tháng 3 2019

1)\(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-xy+y^2\ge xy\) ( vì x;y\(\ge0\))

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng )

\(\Rightarrow x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y

2) \(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)

\(\Leftrightarrow x^4-x^3y+y^4-xy^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)( luôn đúng )

Dấu " = " xảy ra <=> x=y

3) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)\(\forall a\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2}\ge a\forall a\)

\(\left(b-1\right)^2\ge0\forall b\Leftrightarrow b^2-2b+1\ge0\)\(\forall b\Leftrightarrow\frac{b^2}{2}+\frac{1}{2}\ge b\forall b\)

\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)\(\forall a;b\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}\ge ab\forall a;b\)

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:

\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1

4) \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\left[a^2-2.a.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[b^2-2.b.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[c^2-2.c.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\ge0\forall a;b;c\)

\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a;b;c\)( luôn đúng)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1/2

19 tháng 3 2019

Ta có :

\(a^3+b^3+ab=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+ab=1^3-3ab+ab=1-2ab\)

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow1\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow\sqrt{ab}\le\frac{1}{2}\Rightarrow ab\le\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow-ab\ge\frac{-1}{4}\Rightarrow-2ab\ge-\frac{1}{2}\Rightarrow1-2ab\ge\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+ab\ge\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)

19 tháng 3 2019

Thanhs.

21 tháng 3 2019

\(1,\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\))
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge o\)
 

4 tháng 12 2017

cau b . ta co 

a4+b4\(\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\)\(\ge\)\(\frac{\frac{1}{16}}{2}\)=1/32

câu a đề phải là 12ab 

Dùng BĐT cô si 

\(ab\ge2\sqrt{ab}\)

\(9+ab\ge2.3\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(9+ab\right)\ge12ab\)

7 tháng 1 2020

lol

10 tháng 1 2020

không hiểu kiểu gì