Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/Xét hiệu ta có: \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{b}-a^2-ab=\left(a+b\right)\left(\frac{a^2-ab+b^2}{b}\right)-a\left(a+b\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(\frac{a^2}{b}-2a+b\right)=\left(a+b\right)\left(\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\right)^2\ge0\)
\(\RightarrowĐPCM\)
b/Tương tự ở câu a, ta cũng có:
\(\frac{a^3}{b}\ge a^2+ab-b^2\left(1\right),\frac{b^3}{c}\ge b^2+bc-c^2\left(2\right),\frac{c^3}{a}\ge c^2+ca-a^2\left(3\right)\)
Cộng (1),(2) và (3) \(VT\ge a^2+ab-b^2+b^2+bc-c^2+C^2+bc-a^2=ab+bc+ca\left(ĐPCM\right)\)
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của Phạm Vũ Trí Dũng - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
a) Ta có: \(\frac{a^2}{a+b}-\frac{b^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}-\frac{c^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}-\frac{a^2}{c+a}\) \(=a-b+b-c+c-a=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}=\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{c+a}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\right)=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{a^2}{c+a}\)\(\ge\frac{2ab}{a+b}+\frac{2bc}{b+c}+\frac{2ca}{c+a}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c\)
b) \(a^2b^2\left(a^2+b^2\right)=\frac{1}{2}\cdot ab\cdot2ab\cdot\left(a^2+b^2\right)\le\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\cdot\frac{\left(2ab+a^2+b^2\right)^2}{4}=2\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=1\)
1) \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)(cô si) ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN với a, b,c>0 TA CÓ
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b\right)}+\frac{\left(b+c\right)^2}{4\left(b+c\right)}+\frac{\left(c+a\right)^2}{4\left(c+a\right)}.\)
\(=\frac{a+b}{4}+\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}=\frac{a+b+c}{2}.\)
2) Với a,b,c >0 .XÉT \(\frac{a^2}{b}+b\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b}.b}=2a\)(bất đẳng thức cô si)
\(\frac{b^2}{c}+c\ge2\sqrt{\frac{b^2}{c}.c}=2b\)
\(\frac{c^2}{a}+a\ge2\sqrt{\frac{c^2}{a}.a}=2c\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b}+b+\frac{b^2}{c}+c+\frac{c^2}{a}+a\ge2a+2b+2c\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge a+b+c\)
(đpcm)
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{ab}{2\sqrt{ab}}+\frac{bc}{2\sqrt{bc}}+\frac{ca}{2\sqrt{ca}}=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\le\frac{a+b+c}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab^2c}{ac}}=2b\) ; \(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a\) ; \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c\)
Cộng vế với vế: \(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Áp dụng BĐT cosi ta có
\(\hept{1\begin{cases}\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2b\\\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c\\\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2a\end{cases}}\)
Cộng vế theo vế ta được
\(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
Chia 2 bên cho 2 là ra cái cần chứng minh
Thiếu rồi bác alibaba nguyễn
Áp dụng BĐT cô - si ta có :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2\sqrt{b^2}=2b\)
Tương tự CM :
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c\)
\(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2a\)
Nên : \(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
Vậy \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)