Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
O N H E M D P
a) MN là tiếp tuyến đường tròn (O) \(\Rightarrow\widehat{MNP}=90^o\)
DO = ON = OP => \(DO=\frac{1}{2}NP\Rightarrow\widehat{NDP}=90^o\)
- Aps dụng hệ thức lượng cho tam giác MNP vuông tại N đường cao ND , ta có :
MN2 = MD . MP ( đpcm )
b) Ta có : PE // OM => PE // OH
Mà O là trung điểm của NP => OH là đường trung bình của tam giác ENP
=> H là trung điểm NE
Vậy : HN = HE ( đpcm )
c) Theo ( c/m câu b ) : HN = HE => \(HE\perp OM\)
Áp dung hệ thức trong tam giác NMO vuông tại N , đường cao NH :
Ta có : ON2 = OM . OH => OP2 = OM . OH
\(\Rightarrow\frac{OP}{OM}=\frac{OH}{OP}\left(1\right)\)
- Xét 2 tam giác: OHP và OPM
có : \(\frac{OP}{OM}=\frac{OH}{OP}\left(theo\left(1\right)\right)\)
\(\widehat{O}\)là góc chung
Do đó : \(\Delta OHP~\Delta OPM\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{OPH}=\widehat{OMP}\left(đpcm\right)\)
A B C O D E H I F
a) Xét \(\Delta ABE\)và \(\Delta ABD\)có :
\(\widehat{BAE}=\widehat{BAD}\); \(\widehat{ABE}=\widehat{BDE}\)
\(\Rightarrow\Delta ABE\approx\Delta ADB\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}\Rightarrow AD.AE=AB^2\)( 1 )
Xét \(\Delta ABO\)vuông tại B ( do AB là tiếp tuyến ), đường cao BH ( tự c/m ), ta có hệ thức lượng
\(AH.AO=AB^2\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(AD.AE=AH.AO=AB^2\)
b) \(AD.AE=AH.AO\Rightarrow\frac{AE}{AH}=\frac{AO}{AD}\)
Xét \(\Delta AEH\)và \(\Delta AOD\)có :
\(\frac{AE}{AH}=\frac{AO}{AD}\); \(\widehat{EAH}\)( chung )
\(\Rightarrow\Delta AEH\approx\Delta AOD\left(c.g.c\right)\)\(\Rightarrow\widehat{AHE}=\widehat{ADO}\)( 3 )
Mà \(\Delta ODE\)cân tại O ( do OE = OD ) \(\Rightarrow\widehat{OED}=\widehat{ODE}\)( 4 )
Từ ( 3 ) và ( 4 ) suy ra \(\widehat{AHE}=\widehat{OED}\)
c) đường thẳng qua B vuông góc với CD tại I
Xét hai tam giác vuông BID và CBI có :
\(\widehat{IDB}=\widehat{CBI}\); \(\widehat{BID}=\widehat{BIC}=90^o\)
\(\Rightarrow\Delta BID\approx\Delta CIB\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\frac{ID}{IB}=\frac{IB}{IC}=\frac{DB}{BC}\)
\(\Rightarrow\frac{ID}{IB}.\frac{IB}{IC}=\frac{ID}{IC}=\frac{BD^2}{BC^2}\)
Mặt khác : \(\Delta DAC\)có : BI // AC
\(\Rightarrow\frac{FI}{AC}=\frac{DI}{DC}=\frac{DI}{DI+CI}=\frac{1}{1+\frac{CI}{DI}}=\frac{1}{1+\frac{BC^2}{BD^2}}=\frac{BD^2}{BD^2+BC^2}=\frac{BD^2}{4R^2}\)( R là bán kính )
\(\Rightarrow FI=\frac{BD^2.AC}{4R^2}\)( 5 )
Xét \(\Delta BCD\)và \(\Delta ACO\)có :
\(\widehat{BCD}=\widehat{OAC}\); \(\widehat{CBD}=\widehat{ACO}=90^o\)
\(\Rightarrow\Delta BCD\approx\Delta CAO\left(g.g\right)\)\(\Rightarrow\frac{BC}{AC}=\frac{BD}{OC}\Rightarrow BC=\frac{AC.BD}{R}\)( 6 )
Xét 2 tam giác vuông BIC và BCD có :
\(\widehat{BCD}\)( chung ) ; \(\widehat{BIC}=\widehat{CBD}=90^o\)
\(\Rightarrow\Delta BIC\approx\Delta DBC\)( g.g )
\(\Rightarrow\frac{IB}{BD}=\frac{BC}{CD}\Rightarrow IB=\frac{BC.BD}{2R}\)( 7 )
Từ ( 6 ) và ( 7 ) suy ra : \(IB=\frac{AC.BD^2}{2R^2}\)( 8 )
Từ ( 5 ) và ( 8 ) suy ra : \(IF=\frac{IB}{2}\Rightarrow\)F là trung điểm của IB
\(\Rightarrow HF\)là đường trung bình của \(\Delta BCI\)\(\Rightarrow HF//CD\)