Question

[Trương Anh]

Cho đường tròn (O; R) và M là một điểm sao cho OM=2R.

Từ M, kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A,B là các tiếp điểm, A khác B)

a) Tính MA theo R

b) CM: Tam giác MBA đều và tính diện tích theo R

c) Gọi N là điểm thuộc cung nhỏ AB. Vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt các tiếp tuyến MA, MB theo thứ tự ở C và D. Tính tỉ số chu vi của hai tam giác MCD và MAB

d) Gọi H là giao điểm của AB và MO, đường thẳng MO cắt đường tròn (O) tại P và Q (P nằm giữa M và O). CM: MP.MQ = MH.MO

Answer 1

[Nue nguyen]

a) \(MA=\sqrt{OM^2-OA^2}=\sqrt{4R^2-R^2}=R\sqrt{3}\)

b)\(\Delta AMB\) cân tại M có OM là đường phân giác (t\c 2 tt cắt nhau)\(\Rightarrow\widehat{AMO}=\dfrac{\widehat{AMB}}{2}\)

\(\sin AMO=\dfrac{OA}{OM}=\dfrac{R}{2R}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\widehat{AMO}=30^0\)\(\Rightarrow\widehat{AMB}=2\widehat{AMO}=60^0\) \(\Rightarrow\Delta AMB\) đều (đpcm)

c) Ta có: \(AC=NC;ND=BD\) (t\c 2 tt cắt nhau)

\(\dfrac{CV_{MCD}}{CV_{MAB}}=\dfrac{MC+MD+CN+ND}{MC+MD+AC+BD+AB}\\ =\dfrac{MC+MD+AC+BD}{MC+MD+AC+BD+AB}\\ =\dfrac{AM+MB}{AM+MB+AB}=\dfrac{2AB}{3AB}=\dfrac{2}{3}\)

d) Ta có: \(MH.MO=AM^2=3R^2\)

\(MP=OM-OP=2R-R=R\) \(\Rightarrow MQ=3R\)

\(\Rightarrow MP.MQ=R.3R=3R^2\)

\(\Rightarrow MH.MO=MP.MQ=3R^2\left(đpcm\right)\)