Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(M=\frac{19a+3}{1+b^2}+\frac{19b+3}{c^2+1}+\frac{19c+3}{a^2+1}\)
\(=19a-\frac{19ab^2-3}{b^2+1}+19b-\frac{19bc^2-3}{c^2+1}+\frac{19ca^2-3}{a^2+1}\)
\(\ge19\left(a+b+c\right)-\frac{19ab^2-3}{2b}-\frac{19bc^2-3}{2c}-\frac{19ca^2-3}{2a}\)
\(=19\left(a+b+c\right)-19\left(\frac{ab}{2}+\frac{bc}{2}+\frac{ca}{2}\right)+\frac{3}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\ge19.3-\frac{19.3}{2}+\frac{3}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{19.3}{2}+\frac{3}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Lại có:
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge3\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\ge3\frac{\left(1+1+1\right)^2}{ab+bc+ca}=\frac{3.9}{3}=9\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\)
\(\Rightarrow M\ge\frac{19.3}{2}+\frac{3}{2}.3=33\)
\(\)
Do\(1\le a\le b\le c\le d\le4\)
\(\Rightarrow M=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\ge\frac{1}{b}+\frac{b}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{b}.\frac{b}{4}}=1\) (AM-GM)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=1;b=c=\frac{1}{2};d=4\)
co nhieu cau tuong tu tren mang ban tu tm hieu nhe
ta có \(a^3+a^3+1\ge3a^2.\)mấy cái khác tt bạn cộng vế theo vế là ra GTNN
\(\frac{a}{9b^2+1}=\frac{a\left(9b^2+1\right)-9ab^2}{9b^2+1}=a-\frac{9ab^2}{9b^2+1}\ge a-\frac{9ab^2}{2\sqrt{9b^2.1}}=\)
\(=a-\frac{9ab^2}{6b}=a-\frac{3ab}{2}\)
Tương tự với các biểu thức còn lại, kết hợp với
\(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)
là được đáp án.
\(Q=\left(1+\frac{\alpha}{x}\right)\left(1+\frac{\alpha}{y}\right)\left(1+\frac{\alpha}{z}\right)=\left(\frac{\alpha+x}{x}\right)\left(\frac{\alpha+y}{y}\right)\left(\frac{\alpha+z}{z}\right)\)
Mà \(\alpha=x+y+z\) (theo gt) nên ta có thể viết \(Q\) như sau:
\(Q=\left(\frac{2x+y+z}{x}\right)\left(\frac{x+2y+z}{y}\right)\left(\frac{x+y+2z}{z}\right)=\left(2+\frac{y+z}{x}\right)\left(2+\frac{x+z}{y}\right)\left(2+\frac{x+y}{z}\right)\)
Đặt \(a=\frac{y+z}{x};\) \(b=\frac{x+z}{y};\) và \(c=\frac{x+y}{z}\) \(\Rightarrow\) \(a,b,c>0\)
Khi đó, biểu thức \(Q\) được biểu diễn theo ba biến \(a,b,c\) như sau:
\(Q=\left(2+a\right)\left(2+b\right)\left(2+c\right)=4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)+abc+8\)
\(\Rightarrow\) \(Q-8=4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)+abc\)
Mặt khác, ta lại có:
\(a+b+c=\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\)
nên \(a+b+c+3=\frac{y+z}{x}+1+\frac{x+z}{y}+1+\frac{x+y}{z}+1\)
\(\Rightarrow\) \(a+b+c+3=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Lại có: \(\hept{\begin{cases}x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\text{ (1)}\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\text{ (2)}\end{cases}}\) (theo bđt \(Cauchy\) lần lượt cho hai bộ số gồm các số không âm)
Nhân hai bđt \(\left(1\right);\) và \(\left(2\right)\) vế theo vế, ta được bđt mới là:
\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)
Theo đó, \(a+b+c+3\ge9\) tức là \(a+b+c\ge6\)
\(\Rightarrow\) \(4\left(a+b+c\right)\ge24\) \(\left(\alpha\right)\)
Bên cạnh đó, ta cũng sẽ chứng minh \(abc\ge8\) \(\left(\beta\right)\)
Thật vậy, ta đưa vế trái bđt cần chứng minh thành một biểu thức mới.
\(VT\left(\beta\right)=abc=\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{xyz}\ge\frac{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{xz}}{xyz}=\frac{8xyz}{xyz}=8=VP\left(\beta\right)\)
Vậy, bđt \(\left(\beta\right)\) được chứng minh.
Từ đó, ta có thể rút ra được một bđt mới.
\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\ge3\sqrt[3]{8^2}=12\) (theo cách dẫn trên)
\(\Rightarrow\) \(2\left(ab+bc+ca\right)\ge24\) \(\left(\gamma\right)\)
Cộng từng vế 3 bđt \(\left(\alpha\right);\) \(\left(\beta\right)\) và \(\left(\gamma\right)\), ta được:
\(Q-8\ge24+8+24=56\)
Do đó, \(Q\ge64\)
Dấu \("="\) xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z=2\)
Vậy, \(Q_{min}=64\) khi \(\alpha=6\)
\(P=\frac{a^3}{a^2+2bc}+\frac{b^3}{b^2+2ca}+\frac{c^3}{c^2+2ab}+3abc\)
\(P=a-\frac{2abc}{a^2+2bc}+b-\frac{2abc}{b^2+2ca}+c-\frac{2abc}{c^2+2ab}+3abc\)
\(P=\left(a+b+c\right)-2abc\left(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\right)+3abc\)
\(P=3-2abc\left(\frac{1}{a^2+2ab}+\frac{1}{b^2+2bc}+\frac{1}{c^2+2ca}\right)+3abc\)(Do a+b+c=3)
Áp dụng BĐT Schwarz cho 3 phân số:
\(\frac{1}{a^2+2abc}+\frac{1}{b^2+2bc}+\frac{1}{c^2+2ca}\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{9}{3^2}=1\)
\(\Rightarrow P\le3-2abc+3abc=3+abc\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số a,b,c: \(abc\le\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}=\frac{3^3}{27}=1\)
\(\Rightarrow P\le3+1=4\).
Vậy \(Max_P=4.\)Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.
Đợi chút; phần áp dụng BĐT schwarz, cái đầu tiên mình gõ thừa chữ "c" ở mẫu thức, bn sửa đi nhé.
Em nghĩ là làm như vầy ạ!Nếu sai thì đừng trách em nha,đừng quên là em mới lớp 7.
Ta có: \(P=\left(\frac{3}{2}a+\frac{6}{a}\right)+\left(\frac{5}{2}b+\frac{10}{b}\right)+\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b\)
\(\ge2\sqrt{\frac{3}{2}a.\frac{6}{a}}+2\sqrt{\frac{5}{2}b.\frac{10}{b}}+\frac{1}{2}\left(a+b\right)\)
\(=6+10+\frac{1}{2}.4=6+10+2=18\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = 2.
Vậy....
Giai thích dùm a chỗ lớn hơn hoặc bằng với