Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ÁP dụng BĐT AM-Gm ta có:
\(Σ\frac{a^2}{\left(ab+2\right)\left(2ab+1\right)}\ge\frac{4}{9}\cdotΣ\frac{a^2}{\left(ab+1\right)^2}\)
ĐẶt \(a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}\) thì cần cm
\(Σ\frac{a^2}{\left(ab+1\right)^2}=Σ\left(\frac{xz}{y\left(x+z\right)}\right)^2\ge\frac{3}{4}\)
\(Σ\left(\frac{xz}{y\left(x+z\right)}\right)^2\ge\frac{1}{3}\left(\frac{xz}{y\left(x+z\right)}\right)^2\)
Theo C-S \(Σ\frac{xz}{y\left(x+z\right)}=\frac{\left(xz\right)^2}{xyz\left(x+z\right)}\ge\frac{\left(Σxy\right)^2}{2xy\left(Σx\right)}\ge\frac{3}{2}\)
\(\frac{1}{3}\cdot\left(Σ\frac{xz}{y\left(x+z\right)}\right)^2\ge\frac{1}{3}\cdot\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)
Đúng hay ta có ĐPCM xyar ra khi a=b=c=1
\(2x^2+2y^2=5xy\Leftrightarrow2x^2+2y^2-5xy=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)\left(x-2y\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{y}{2}\\x=2y\end{cases}}\)
Mặt khác : x > y > 0 \(\Rightarrow x=2y\)
Ta có : \(E=\frac{x+y}{x-y}=\frac{2y+y}{2y-y}=\frac{3y}{y}=3\)
a) Dễ tự làm đi
b) Xét 1 + a2 = ab + bc + ca + a2
= b(c + a) + a(c + a)
= (c + a)(b + a)
Cmtt ta có : 1 + b2 = (c + b)(a + b)
1 + c2 = (b+c)( a + c)
Do đó : A = \(\frac{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}\)\(=\frac{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}{\left(a+b\right)\left(c+b\right)\left(b+a\right)\left(c+a\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)= 1
Xét a2 + 2bc - 1 = a2 + 2bc - ab - bc - ca
= a2 - ab + bc - ca
= a(a-b) - c(a-b)
= (a-b)(a-c)
Cmtt ta cũng có : b2 + 2ac - 1 = (b-c)(b-a)
c2 + 2ab - 1 = (c-a)(c-b)
Do đó : \(B=\frac{\left(a^2+2bc-1\right)\left(b^2+2ac-1\right)\left(c^2+2ba-1\right)}{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)}{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}\)
= -1
a + b + c = 0
<=> (a + b + c)^2 = 0
<=> a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 0
<=> a^2 + b^2 + c^2 = 0
<=> a = b = c = 0
=> Q = - 1 + 1 + 1 = 1
\(a^2b^2c^2+\left(a+1\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge a+b+c+ab+bc+ca+3\)
\(\Leftrightarrow\left(abc\right)^2+abc-2\ge0\Leftrightarrow\left(abc+2\right)\left(abc-1\right)\ge0\Leftrightarrow abc\ge1\)
Áp dụng BĐT Cosi ta có:
\(\frac{a^3}{\left(b+2c\right)\left(2c+3a\right)}+\frac{b+2c}{45}+\frac{2c+3a}{75}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\left(b+2c\right)\left(2c+3b\right)}\cdot\frac{b+2c}{45}\cdot\frac{2c+3a}{75}}=\frac{a}{5}\left(1\right)\)
Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{b^3}{\left(c+2a\right)\left(2a+3b\right)}+\frac{c+2a}{45}+\frac{2a+3b}{75}\ge\frac{b}{5}\left(2\right)\\\frac{c^3}{\left(a+2b\right)\left(2b+3c\right)}+\frac{a+2b}{45}+\frac{2b+3c}{75}\ge\frac{c}{5}\left(3\right)\end{cases}}\)
Từ (1)(2)(3) ta có:
\(P+\frac{2\left(a+b+c\right)}{15}\ge\frac{a+b+c}{5}\Leftrightarrow P\ge\frac{1}{15}\left(a+b+c\right)\)
Mà \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow S\ge\frac{1}{5}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
Đặt \(x=\frac{2}{a};\) \(y=\frac{4}{b};\) \(z=\frac{1}{c}\)
(Vì \(a,b,c\in R^+\) nên suy ra \(x,y,z>0\) )
Khi đó, điều kiện (giả thiết) đã cho trở thành \(\frac{x^3+y^3}{xyz}+2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)=6\) \(\left(\text{*}\right)\)
Với điều kiện mà \(x,y,z\) nhận được trên thì ta dễ dàng chứng minh được:
\(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
Do đó, \(\frac{x^3+y^3}{xyz}\ge\frac{xy\left(x+y\right)}{xyz}=\frac{x+y}{z}\)
Mặt khác, nhờ vào bđt Cauchy và yếu tố chủ chốt là \(x,y>0\), ta có đánh giá sau: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)
nên \(6=\frac{x^3+y^3}{xyz}+2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge\frac{x+y}{z}+4\)
\(\Rightarrow\) \(0< \frac{x+y}{z}\le2\)
\(--------------\)
Ta có:
\(P=\frac{x}{y+2z}+\frac{y}{2z+x}+\frac{4z}{x+y}\ge\frac{x^2}{xy+2xz}+\frac{y^2}{2yz+xy}+\frac{4z}{x+y}\)
\(\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy+2z\left(x+y\right)}+\frac{4z}{x+y}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+2z\left(x+y\right)}+\frac{4z}{x+y}=\frac{2\left(x+y\right)}{x+y+4z}+\frac{4z}{x+y}\)
Tóm lại: \(P\ge\frac{\frac{2\left(x+y\right)}{z}}{\frac{x+y}{z}+4}+\frac{4}{\frac{x+y}{z}}\)
\(--------------\)
Đặt \(t=\frac{x+y}{z}\) \(\left(0< t\le2\right)\). Ta biểu diễn bất đẳng thức trên dưới dạng biến \(t\) như sau:
\(P\ge\frac{2t}{t+4}+\frac{4}{t}=\frac{2t}{t+4}+\frac{4}{t+4}+\frac{8}{t\left(t+4\right)}+\frac{8}{t\left(t+4\right)}\ge3\sqrt[3]{\frac{64t}{t\left(t+4\right)^3}}+\frac{8}{t\left(t+4\right)}\)
\(\ge\frac{12}{t+4}+\frac{8}{t\left(t+4\right)}\ge\frac{12}{2+4}+\frac{8}{2.6}=\frac{8}{3}\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=y\\\frac{x+y}{z}=2\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z\) \(\Leftrightarrow\) \(2a=b=4c\)
Vậy, \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(\frac{8}{3}\) khi \(2a=b=4c\)
Có: a2 + 2bc -1 = a2 + 2bc - ab - bc - ca = (a2 - ab) - (ca - bc) = ( a - b)( a - c) Tương tự: b2 + 2ca -1 = ( b - c)( b - a) ; c2 + 2ab - 1 = ( c - a)( c - b) => (a2 + 2bc -1)(b2 + 2ca -1)(c2 + 2ab - 1) = ( a - b)( a - c)( b - c)( b - a)( c - a)( c - b) = -\([\text{( a - b)( b - c)( c - a)}]^2\)